Exo sur la trace d'un projecteur

par **bourbaki** » 22 Avr 2006, 17:03

bonjour à tous
je voudrais que vous m'aidiez à résoudre cet exo:
soit f un projecteur de l'espace vectoriel E ( de dim p sur K). Ecrire la matrice P de f dans une base bien choisie de E et vérifier que trP=rgf. :hein:
en fait, dans cet exo j'ai l'impression qu'on a pas assez d'informations sur f et sur la base de E..
commet l'aborder
merci de votre aid :++:

par **abcd22** » 22 Avr 2006, 17:16

Bonjour !
En fait on te demande de trouver une base où la matrice du projecteur s'écrit le plus simplement possible, utilise les propriétés des projecteurs avec l'image, le noyau...

par **nyafai** » 22 Avr 2006, 17:19

bonjour
tu sais que pour un projecteur f, E=Imf+Kerf. si Rg(f)=p, il faut prendre une base de p vecteurs u1,...,up linéairement indépendants de Im f et n-p vecteurs de Ker f up+1,...,un linéairement indépendants.
tu montres facilement que u1,...,un est une base. si tu traces ensuite la matrice de f dans cette base tu vas obtenir le résultat que tu veux.
bonne chance

par **zorg** » 22 Avr 2006, 17:19

Un projecteur c'est un endomorphisme f qui vérifie f o f = f.

Un théorème dit alors que c'est une projection sur Ker(f-Id) parallèlement à Ker(f).

On note q=dim(Ker(f-Id)) On a donc p-q=dim(Ker(f)).

On choisit une base u_1, ..., u_q de Ker(f-Id) et u_(q+1),...,u_p une base de Ker(f).

Alors l'union B=u_1,...,u_p de ces deux bases est une base de E car Ker(f-Id) et Ker(f) sont supplémentaires dans E.

Dans cette base il est facile de voir que la matrice A de f est une matrice diagonale avec au début q fois 1 puis ensuite p-q zéros.

On a tr(A)=p et rg(A)=p donc tr(f)=rg(f)

par **bourbaki** » 22 Avr 2006, 19:23

:id: merci beaucoup les amis de votre aide. :zen:

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