Exo sup

[Anonyme]

bonjour je dois trouver les couple (a,b) de N² tels que a^b=b^a . Je suis complètement bloqué a part écrire sous forme exponentielle je ne vois pas quoi faire !
Merci de votre aide

[Chimerade]

bonjour je dois trouver les couple (a,b) de N² tels que a^b=b^a . Je suis complètement bloqué a part écrire sous forme exponentielle je ne vois pas quoi faire !
Merci de votre aide

En prenant le logarithme :



Soit :

D'où


Et si tu étudiais la fonction ?

[Anonyme]

Merci bien je vais chercher

[Galt]

Il y a une solution évidente , les solutions a=b, et je crois que ce sont les seules, mais c'est moins facile à prouver (on peut montrer que a et b ont forcément les mêmes facteurs premiers, par exemple, puis en supposant , écrire et prouver qu'aucune puissance d'un rationnel strict ne donne un entier. Ca entraine que est entier, donc que et on s'en tire (en fait, on va prover que b est forcément une puissance de a)

[Chimerade]

Oui !
Je pense qu'on s'en tire aisément en étudiant la fonction que j'ai proposée. La courbe en question montre clairement qu'il n'y a que deux valeurs à tester : 1 et 2 ! Donc on tombera sur 2^4.
En fait, seulement une : 2. Car ln(1)=0 et déjà pour ça, on ne peut trouver aucun autre x...

[Anonyme]

exact je trouve seulement le couple (2,4) mais ma démo est plutot bancale !
c'est un exo posé a l'X , pas facile pour un sup :d