Exo séries

par **benj3850** » 30 Mai 2006, 15:32

bonjour a tous,
j'ai un probleme dans un exercice :

on considere la serie de fonctions somme de n=0 à +oo de (exp(i*n*teta))/(2^n)

la premiere question est montrer que cette série est normalement ce que j'ai fait (dite moi si je me trompe :) ) en majorant par (1/2)^n, terme général d'une série qui converge.
ensuite et c'est là où je ne comprend pas il demande de déterminer sa somme, qu'on exprimera sous la forme a(teta)+i*b(teta), où a et b sont des fonctions à valeurs réelles. J'ai penser faire comme si c'etait une serie geometrique en prenant (exp(i*teta)/2)^n donc selon une formule ca fera que la somme fait :

1/(1-exp(i*teta)/2) = 2/(2-exp(i*teta))

je ne sais pa si c'est juste car par rapport au fait d'exprimer ca sous la forme demandée c'est bizarre...

J'espere que vous pourrez m'aider. Merci d'avance

par **mln** » 30 Mai 2006, 15:51

Bonjour,
(exp(i*n*teta))/(2^n) = cos( n theta )/(2^n) + i sin( n theta )/(2^n)
d'ou a(theta) = somme(cos( n theta )/(2^n),n)
et b(theta) = somme(sin( n theta )/(2^n),n)

par **Daragon geoffrey** » 30 Mai 2006, 15:58

slt une autre indication qui peut te servir, Vn est la somme des termes consécutifs d'un suite géométrique de raison e^(itheta)/2 = cos(theta) + isin(theta), de premier terme 1 il y a donc (n+1) termes et par définition,
Vn=(1-(e^(itheta))/2)^(n+1))/(1-(e^(itheta))/2), et à partir de cette expression tu peux étudier la suite sans problème : sens de variation, bornes, convergence, signe, ... et répondre aux questions demandées @ +

par **benj3850** » 30 Mai 2006, 15:59

merci bien de ta réponse.
Ensuite il y a t il un moyen appliquant la somme a chaque parties de trouver leurs sommes respectives, c'est a dire peut on calculer les sommes :

somme de n=0 à +oo de cos(n*theta)/2^n

et somme de n=0 à +oo de i*sin(n*theta)/2^n ?

merci d'avance

par **benj3850** » 30 Mai 2006, 16:06

Daragon geoffrey a écrit:slt une autre indication qui peut te servir, Vn est la somme des termes consécutifs d'un suite géométrique de raison e^(itheta)/2 = cos(theta) + isin(theta), de premier terme 1 il y a donc (n+1) termes et par définition,
Vn=(1-(e^(itheta))/2)^(n+1))/(1-(e^(itheta))/2), et à partir de cette expression tu peux étudier la suite sans problème : sens de variation, bornes, convergence, signe, ... et répondre aux questions demandées @ +

merci beaucoup de ta réponse Daragon geoffrey, par contre ce que je ne comprend pas c'est la question suivante est en deduire du calcul qui precede une expression de la somme :

somme de n=0 à +oo de sin(n*theta)/2^n

je ne vois pa le lien avec la question precedente :s

par **mln** » 30 Mai 2006, 16:11

1/(1-exp(i*teta)/2) = 2/(2-exp(i*teta)) = 2/(2-cos(theta) + i*sin(theta))*(2-cos(theta) - i*sin(teta))/(2-cos( theta) - i*sin(teta)) = 2((2-cos(theta) - i*sin(theta)))/ ((2-cos(theta))² + sin(theta)²) = 2((2-cos(theta) - i*sin(theta)))/ (-4cos(theta) + 5)

a(theta) = 2( 2-cos(theta) )/ (-4cos(theta)) + 5)
b(theta) = 2 sin(theta)/ (-4cos(theta) + 5)

sauf erreur de calcul

par **Daragon geoffrey** » 30 Mai 2006, 16:17

slt pour moi le calcul de mln est bon ! si jamais tu rencontres quelques autres difficultés, n'hésite pas benj3850 ! @ +

par **benj3850** » 30 Mai 2006, 16:27

oui mais je ne vois toujours pas le lien avec la deuxième question

par **mln** » 30 Mai 2006, 16:32

somme de n=0 à +oo de sin(n*theta)/2^n = b(theta)
= 2 sin(theta)/ (-4cos(theta) + 5)

bon courage

par **benj3850** » 30 Mai 2006, 16:48

ah dacor j'ai compris ! merci bien a tous :)

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