Exo:pgcd de polynômes ds C[X]...

[mimi59]

Bonjour à tous,
je bloque sur un exercice dont voici l'énoncé:

a un nbre complexe non nul, n et m 2entiers naturels>0

Montrer que pgcd(X^n -a^n , X^m - a^m)= X^r - a^r
où r=pgcd(m,n)


voilà.

j'ai commencé par décomposer ces polynômes en produits de facteurs irréductibles. je me suis dit qu'ils ont r facteurs en commun. j'ai écrit a sous forme exponentielle et j'ai essayé de trouver une relation liant m et n mais avec celle-ci je n'aboutit à rien. bref,je ne vois pas comment introduire ce r=pgcd(m,n).. :hein:

si vous pouviez m'aider,me donner quelques indices... je vous en serais très reconnaissante.merci
:++:

[Quidam]

Bonjour,



Avec PGCD(M,N)=1



De même :


Donc divise les deux polynômes.

Reste à montrer qu'il n'y a pas de plus grand diviseur !

[mimi59]

ok!merci beaucoup!!! :happy2:

[jose_latino]

Il faut analyser les polynômes de la forme . Il faut remarquer que quand , mais s'anulle si et seulement si . Remarquer que
Soient sont lequels qui apparaîtent dans le message de QUIDAM. On va montrer que et n'ont pas de racines communes.
Si
et est impossible, parce qu'on aurait que et , où . Comme , il existe tels que . Alors , celui-là est une contradiction.
Maitenant analyse et

[mimi59]

Merci bcq Jose Latino!!!! tout est bien clair pour moi maintenant!!! :++:

[yos]

Quitte à passer par les racines, autant le faire dés le début de l'exo. C'est d'ailleurs suggéré par l'énoncé qui se place dans C[X] alors que le résultat est vrai sur Q[X] ou R[X] par exemple.
On peut dire que les racines de sont les complexes où u décrit les racines m-ème de l'unité . On fait pareil pour et on cherche les racines communes à ces deux polynômes : ce sont clairement les complexes où w décrit les racines de l'unité d'ordre m et n à la fois , c'est à dire celles d'ordre r.