Exo continuité

[Rik95]

Bonjour,

Je coince sur un exercice ou il faut étudier la continuité uniforme de 1/racine(x), j'ai jusqu’à présent essayer d'utiliser la définition mais je reviens toujours au point de départ :/

Si quelqu'un peu m'aider, merci

[zygomatique]

salut

pour tout e > 0 peut-on avoir

et

....

[Rik95]

Merci pour ta réponse, en suivant tes indications j'ai obtenu que pour : delta/racine(x1)racine(x2)(racine(x1) + racine(x2)) = epsilon

epsilon est un nombre très petit mais si le dénominateur a une valeur très petite tel que 0.0000001 epsilon va tendre vers l'infini ... donc la fonction n'est pas uniformément continue c'est bien sa ?

vu mon resultat pouvons nous dire qu'elle est uniformément continue sur un certain intervalle ? ( si le denominateur est superieur a 1 il n'y a pas de souçis je pense mais comment avoir l'intervalle des x ? )

[zygomatique]

oui c'est l'idée ... il ne me semble pas qu'elle le soit ... vu sa limite infinie en 0 ....

donc quel que soit e > 0 en choisissant x et y très proches ET très proche de 0 on n'y arrive pas ...

[Rik95]

Ok merci, dans un autre exo, j'ai la meme fonction mais cette fois ci on nous demande de montrer qu'elle n'est pas uniformement continue sur l'intervalle ]0 , 1]

a partir du resultat précedant comment puis je le montrer ? ou bien faut t'il utiliser une autre astuce ?

[zygomatique]

un peu de sérieux !!!

ce n'est pas vrai dans R ... parce que justement ce n'est pas vrai dans ]0, 1] ... et c'est ce qu'on vient de démontrer !!!

[Rik95]

Mmmm oui mais étant donné le resultat : delta/racine(x1)racine(x2)(racine(x1) + racine(x2)) = epsilon, certe c'est asser evident que le denominateur ne dois pas etre dans l'intervalle ]0, 1] pour que epsilon sois tres petit mais comment avoir l'intervalle de x1 et x2 ?

desolé si je pose des questions un peu bete mais je ne suis pas encore bien habituer a raisonner de cette façon ^^

[arnaud32]

tu supposes la fonction uniformement contiue
tu fixes il existe u tel que si |x - y| < u
tu pends x<u et y=x/2
|y-x|=x/2<u
et

que se passe t il pour

[Rik95]

merci pour ta reponse mais pourquoi prendre y = x/2 ?

[chan79]

Bonjour,

Je coince sur un exercice ou il faut étudier la continuité uniforme de 1/racine(x), j'ai jusqu’à présent essayer d'utiliser la définition mais je reviens toujours au point de départ :/

Si quelqu'un peu m'aider, merci

Soit par exemple
Il faut montrer que pout tout , on peut trouver et tels que :

soit donc quelconque strictement positif



On choisit



Il faut trouver y tel que

il suffit de prendre

soit et

Par exemple avec y=0.08 et x=0.16
qui est bien plus grand que 1

[chan79]

Bonjour,

Je coince sur un exercice ou il faut étudier la continuité uniforme de 1/racine(x), j'ai jusqu’à présent essayer d'utiliser la définition mais je reviens toujours au point de départ :/

Si quelqu'un peu m'aider, merci

Soit par exemple
Il faut montrer que pout tout , on peut trouver et tels que :

soit donc quelconque strictement positif



On choisit



Il faut trouver tel que

il faut que

soit et

Mais il faut aussi que soit

On choisit et

par exemple si
on peut prendre

[Rik95]

Je vois merci mais le seul point que je n'ai pas compris c'est le moment ou on prend x = 2y ? on peu faire comme on veut ?

[chan79]

Je vois merci mais le seul point que je n'ai pas compris c'est le moment ou on prend x = 2y ? on peu faire comme on veut ?

Ce qu'il faut, étant donné, c'est trouver un couple et il doit vérifier

[zygomatique]

[quote="arnaud32"]tu supposes la fonction uniformement contiue
tu fixes il existe u tel que[TEX]\| \dfrac {1}{\sqrt x} - \dfrac {1}{\sqrt y} \| 0

cherchons (peut-on trouver) u > 0 tel que |x - y| |f(x) - f(y)| < e

puis blablabla ... comme l'a fait Chan79 ....

évidemment la fonction explosant en 0 on va chercher x et y tels que 0 < x, y < u

....

[Ben314]

Salut,
On va surement dire que je fait "de la théorie", mais, façe à un exo. de ce type, je pense que je ne me priverais pas a montrer que, si une fonction tend vers l'infini en un certain xo, alors, quelque soit h>0, elle ne peut pas être uniformément continue sur ]xo,xo+h[ (en fait en montrant plus ou moins la contraposée, à savoir que, si f est uniformément continue sur un intervalle borné I, alors f est bornée sur I)
C'est certes plus théorique, mais ça ne demande quasiment aucun calculs et... ça peut resservir...

[zygomatique]

Salut,
On va surement dire que je fait "de la théorie", mais, façe à un exo. de ce type, je pense que je ne me priverais pas a montrer que, si une fonction tend vers l'infini en un certain xo, alors, quelque soit h>0, elle ne peut pas être uniformément continue sur ]xo,xo+h[ (en fait en montrant plus ou moins la contraposée, à savoir que, si f est uniformément continue sur un intervalle borné I, alors f est bornée sur I)
C'est certes plus théorique, mais ça ne demande quasiment aucun calculs et... ça peut resservir...

oui la contraposée est intéressant car très généraliste ...

mais la preuve directe est tout aussi intéressante en soi pour exhiber un x et un y tels que

|x - u| e = ...

car en particulier ça permet de travailler (de façon implicite peut-être mais tout de même) les notions de condition suffisante/nécessaire ....

ce me semble-t-il ...

[Rik95]

Mmmm je crois que je commence a comprendre, je vais essayer de revoir l'exo