Bonjour, je suis bloqué sur cet exercice. Pourriez vous m'aider?
Soit n un entier de la forme n = h*2^m + 1 avec m et h entiers tels que m> 2 et 0 Soit p>3 un nombre premier tel que n nest pas un résidu quadratique modulo p.
On veut montrer que n est premier si et seulement si p^((n-1)/2)=-1 mod n.
a) Montrer que, si n est premier, cette congruence est bien vérifiée.(cette question j'ai trouvé)
b) Soit q un nombre premier divisant n.
En étudiant lordre de la classe de p dans (Z/qZ,×), montrer que q est de la forme q =
h;)*2^m+1. (là je bloque)
c) Conclure.
abcd22 a écrit:Dans ce cas, on a puisque q divise n, donc , et avec ça on a des informations sur l'ordre de dans , et on sait aussi que cet ordre divise ...
donc l'ordre est un entier r de la forme et qui divise q-1. Si on suppose h' impair et m'<m, on aurait , alors que cette congruence est -1. Question : où est ce qu'on utilise ?
Pour cette question, j'ai dit que d'après Fermat, p^((n-1)/2) est racine de X²-1 dans Fp et comme ce polynôme n'a que 1 et -1 comme racines, on a p^((n-1)/2) =1 ou -1 modulo p. Pourquoi c'est pas 1?
J'ai utilisé la loi de réciprocité quadratique : car l'hypothèse m > 2 assure que est divisible par 8 donc est pair. Ca suppose que la réciprocité quadratique ait été vue avant, il y a peut-être une démonstration qui ne l'utilise pas, mais c'est la première chose à laquelle j'ai pensé.
