[Master Maths]Exo. Arithmétique

[Jiss]

Bonsoir à tous !

Je viens ici solliciter votre aide car je suis bloqué....

Bon alors voilà il y a deux trucs qui ne sont pas très clairs et j'aurais besoin d'aide. Je crois que c'est abordé rapidement en prépa mp ou mp* enfin jsais pas trop

Bon je me lance, jvais essayer d'être le plus clair possible.

Thème :

Mathématique Arithmétique


Notions abordées :

- Groupes, Anneaux, Corps
- Polynômes irréductibles, minimaux
- Théorème de l'élément primitif
- Homomorphisme, Isomorphisme, Automorphisme de Frobenius


But de l'exercice (je crois ^^) :

Prouver l'unicité et l'existence de corps et trouver les polynômes minimaux dans des sous-corps...

Exercice :


Soient,




Tous irréductibles

avec = corps à deux éléments

On note = X mod




Questions:

1) Montrer que d'ordre 5. Est-il primitif ?

Réponse => ok il est d'ordre 5 donc pas primitif

2) Sans calculs déterminer l'ordre des éléments de * et le nombre d'éléments ayant un ordre donné.

Réponse => ordre 1, 3, 5 ou 15.

3) Montrer que ( + 1) est primitif

Réponse => Ok c'est bon il est primitif

4) Pour chaque élément de* donner son ordre, polynôme minimal sur et son degré

Réponse => je vais pas faire le grand tableau mais ce qu'il faut retenir c'est que :

( + 1) : ordre = 15, Polynôme minimal =
: ordre = 3
: ordre = 15, Polynôme minimal =
: ordre = 3

Bon et là on arrive à ce qui me pose problème :

5) En déduire les isomorphismes :

~ ~

Réponse => on prouve assez facilement qu'ils sont isomorphes, et on veut expliciter les isomorphismes et le prof trouve :

->
+ 1 ->


->
+ 1 -> + 1


Donc on prend un élément du corps de départ et on lui associe son image dans le corps d'arrivé. Pour les ensembles d'arrivés, il y a pas de problème, on prend les éléments tels que ces éléments ont pour polynôme minimal le quotient du corps d'arrivé.

MON PROBLEME : pourquoi on choisit ( + 1) de l'ensemble de départ ? Pourquoi spécialement lui ?

Dans mon cours, le prof fait comme si l'élément choisi devait être racine du corps d'arrivé et on lui applique les règles de transformation de (corps de départ) à savoir dans notre exemple .

Seulement dans mon TD là (et le prof s'est pas trompé) dans le deuxième cas, pour prouver que c'est bien racine, il applique les règles du corps de départ (à savoir ), mais pour le premier isomorphisme il applique les règles du corps d'arrivé !! (à savoir ).

Je ne comprends pas, on doit utiliser quelle règle alors ??


Voilà j'espère que vous pourrez m'aider et si quelqu'un arrive à m'aider (ce dont je ne doute pas : j'ai fais un tour rapide et y a du gros gros niveau sur le forum ^^) je parlerai de l'autre question qui me pose problème (j'éditerai mon message)....


Merci d'avance.


Jiss

[yos]

Bonjour.

est formé des polynômes en de degré au plus 3, ce qui fait que a 16 éléments. Donc est primitif car .

[yos]

L'intérêt de par rapport à est qu'il engendre le groupe multiplicatif (car son ordre est 15).

Si tu définis, tu détermines complètement f : un autre élément de s'écrit et a donc pour image .
Avec ça marcherait pas.

[Jiss]

Bonjour.

Donc ça veut dire que dans tous les cas, il suffit que je prenne un générateur de l'ensemble de départ et que je l'envoi vers la racine de l'ensemble d'arrivé et c'est bon ? Il faut pas que l'élément de l'ensemble de départ soit aussi racine de l'ensemble d'arrivé ?

[Jiss]

Bon j'ai finalement une réponse :

En fait le postulat de mon prof de TD était faux :

->
->


->
->

En fait il faut nécessairement que les éléments du corps de départ et d'arrivé aient le même polynômes minimal.

Par conséquent, la solution est la suivante :


->
-> mod


->
-> mod


Merci quand même pour votre aide

[yos]

Tous irréductibles

Pourtant ...

[Jiss]

Très juste, j'ai oublié le "+ X".

Je corrige ça tout de suite :p.