Exo analyse continuité et limite d'intégrales

[kaltasus]

Bonsoir à tous, j'aurais besoin d'aide pour mon exercice sur la continuité :

Soit f une fonction continue sur [a,b] et à valeurs dans C.
On note M=sup de lfl sur [a,b]

Pour tout n appartenant à lN*, on note :


J'ai justifié l'existence de M et j'ai montré que :

Ensuite : soit epsilon >0 fixé
a) justifier l'existence d'un intervalle I de [a,b] tel que pour tout t appartenant à I, on ait :
-> On a f continue et f atteint ses bornes donc f atteint M en prenant toutes les valeurs intermédiaires et il existe un intervalle inclus dans [a,b] tel qu'on ait

b)Montrer alors qu'il existe un entier tel que



-> Ici je bloque, je n'ai pas souvent eu affaire à ce genre d'exercice et j'aurais besoin de votre aide svp

c) En déduire la limite de Kn quand n -> + infini

-> il faut regarder vers quoi tendent les termes qui encadrent Kn ? (vers M ??)

4) Soit g continue et strictement positive sur [a,b] A l'aide de la précédente question, trouver :


-> je vois pas ?

MERCI POUR VOTRE AIDE !!

[Ben314]

Salut,
a) Concernant l'existence de l'intervalle I (non réduit à un point) sur lequel , je ne trouve pas ta "prose" super parfaite, mais bon...

b) Sinon, concernant le point suivant, la majoration est a peu prés triviale se déduit du fait que |f|M-\varepsilon[/TEX] sur [c,d] ce qui prouve que et tu conclue en utilisant le fait que

c) Ce que tu as montré au b) prouve (par définition même d'une limite) que Kn tend vers M.

[kaltasus]

Comment justifierais tu l'existence de I ?

Pour l'encadrement j'ai bien obtenu un truc avec du (b-a)^1/n mais peut on réécrire l'encadrement en remplacant ce terme par 1 ?
En gros peut on supposer qu'on se trouve à un rang N suffisamment grand pour avoir (b-a)^1/n = 1 ?

[Ben314]

Pour le a), je commencerais par dire (théorème classique) qu'il existe un xo tel que |f(xo)|=M puis j'utiliserais la définition de la continuité de f au point xo pour en déduire l'existence d'un intervalle (centré en xo) sur lequel M-epsilon1), ça te dit que...