Exercice d'Analyse fonction valeur absolue et intégrales

[Etonnai]

Bonjour, avant tout je vous remercie de prendre de votre temps pour m'aider dans la résolution de mon exercice.
En voici l'énoncé :

Si α ∈ R, exprimer |α| à l’aide de :
α+ := max(α, 0) et de
α− :=min(α, 0).
En déduire, en utilisant l’Exercice que j'ai poster précédemment qui est le suivant :
Montrer que si α1, β1, α2, β2 sont des nombres réels tels que α1 ≤ β1
et α2 ≤ β2, alors max(β1, β2) − max(α1, α2) ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2) et min(β1, β2) −
min(α1, α2) ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2). En déduire que si f et g sont deux fonctions
(R)-intégrables sur [a, b], alors les fonctions f ∨ g et f ∧ g sont (R)-intégrables.
En déduire une preuve du fait que si f :
[a, b] → R est (R)-intégrable sur [a, b], alors |f| est (R)-intégrable.

Pour l'instant j'ai fais la première partie : j'ai exprimer |α| de la sorte
|α|= 0 quand α=singleton 0
|α|=α+ quand α appartient à R+
|α|=α- quand α appartient à R-

Déjà est ce que je me suis trompé ici ?

Ensuite pour la suite je pensé à prouver que si f est bornée alors |f| est bornée ce qui prouverait que si f est Riemann Intégrables alors |f| est Riemann intégrables ?

Merci d'avance pour toute aide de votre part.

[Ben314]

Pour l'instant j'ai fais la première partie : j'ai exprimer |α| de la sorte
|α|= 0 quand α=singleton 0
|α|=α+ quand α appartient à R+
|α|=α- quand α appartient à R-
Déjà est ce que je me suis trompé ici ?

Oui :
- Déjà, α=singleton 0 ne veut rien dire vu qu'à gauche du = tu as un réel et à droite une partie de R
- Ensuite, tes trois cas ne sont pas disjoints (0 est dans R+ et dans R-) donc il y a "redondance" (signifiant que le premier cas ne sert à rien et qu'il faut vérifier que les deux autres disent bien la même chose lorsque α=0)
- Dans le cas α<0, on n'a pas |α|=α- (reregarde la définition de α-)
- Enfin, l'énoncé n'est pas super explicite, mais, a priori, ce qu'on te demande, c'est une unique formule ne contenant pas différent "cas".

Ensuite pour la suite je pensé à prouver que si f est bornée alors |f| est bornée ce qui prouverait que si f est Riemann Intégrables alors |f| est Riemann intégrables ?

Ensuite, je ne sais pas ce qu'il y a dans ton cours (il y a plusieurs présentations légèrement différentes possible), mais il y a un truc sur lequel je suis formel : il n'y a nulle part d'écrit que, pour qu'une fonction soit Riemann-intégrable, il suffit qu'elle soit borné.

[Etonnai]

Oui pour ma définition de |α| je me suis mal exprimée je voulais mettre = α+ quand α appartient à R+* et inversement avec α-. Mais si comme tu le penses il faut tout mettre sur une seule même ligne et ne pas différencier les cas je ne vois pas vraiment comment faire je n'imagine qu'une seule possibilité qui est de séparé les deux cas.

Pour la deuxième partie c'est vrai ce n'est pas complet mais de toute manière je pense qu'il faut que je réussisse l'exercice d'avant et le début de celui-ci donc je vais me concentrer sur ceux-là.

[aymanemaysae]

Pour l'exercice de la valeur absolue, dans notre cours, on a procédé comme vous l'avez dit, par séparation des cas (deux cas en fait), et nous avons montré que ces deux cas conduisaient au même résultat.

[Etonnai]

Je te remercie aymanemaysae pour ton conseil, je pense faire de la sorte donc.