Exercices sur la méthode de Horner.

[lisachatroux]

Bonjour,

J'ai fait deux exercices sur la méthode de Horner et j'aimerais savoir s'ils sont justes.

http://www.noelshack.com/2022-09-3-1646 ... 161043.jpg

http://www.noelshack.com/2022-09-3-1646 ... 161059.jpg

http://www.noelshack.com/2022-09-3-1646 ... 2-et-3.png

[mathelot]

Bonsoir Lisa,

pour les résultats d'Exo 3 annales:
je trouve pour Q1 en développant:

pour Q3, c'est ok
Pour Q4:


pour Q4, la racine du polynôme P est -4 donc on factorise par (x+4)

Pour le résultat de l'exercice 2:


On peut vérifier les factorisations obtenues en développant les résultats.

[lisachatroux]

Coucou @mathelot,

Pour Q1 oui du coup j'ai vu mon erreur.

Pour Q3, je ne comprends pas. Si on reprend mon tableau :

-On descend 1. 1 fois 4 fait 4.
-On met 4 sous 0. 0 plus 4 fait 4. 4 fois 4 fait 16.
-On met 16 sous -13. -13+16 fait 3 d'ailleurs. 3 fois 4 fait 12.
-On met 12 sous 12. 12 plus 12 fait 24 qui est le reste.

On a donc :

(x-4)(1Xcarré + 4X + 3) + 24 non ?

D'ailleurs, je ne comprends pas pourquoi tu dis que -4 est racine de Q4 donc on factorise par (X-4) ?
Dans Q1 -1 était racine et on a factorisé par (X-1) non ?

Pour l'exercice deux oui j'ai vu je me suis trompée le reste est - 4 donc Q(3)=0 non ?

[mathelot]

re,
Exercice 2, question 1
le dernier chiffre de ton résultat,i.e, le reste , est erroné.
On doit avoir


d'où

Exercice 2, question 2
Le reste de la division de par est ,i.e,

Exercice 2, question 3


Le reste de la division de par vaut 0. est divisible par

en effet, d'après le tableau:


d'où . C'est le reste de la division de par .

[mathelot]

On a le cours de la méthode de Horner sous Wikipédia à l'adresse:
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ruffini-Horner#:~:text=Elle%20pr%C3%A9sente%20un%20algorithme%20simple,une%20racine%20d'un%20polyn%C3%B4me.
pour nous aider.

On peut lire les paragraphes:
Valeur d'un polynôme en un point
Quotient d'un polynôme par X - x0
Dérivées successives de P en x0

[mathelot]

Exercice 3 question 1
On doit calculer P'(1) avec la méthode de Horner, donc sans dériver le polynôme. La méthode indiquée par Wiki est assez longue et un peu difficile, je la reporte en fin de notre conversation.

Exercice 3 question 1 (suite)
Calcul de

en X=1, il vient le tableau


Le reste de la division de P par est nul. P est divisible par; il vient


tu as une erreur sur le polynôme (X)

Le reste de la division , égal à P(1),est nul.

Ta notation est erronée.
Il faut écrire:

et



Exercice 3 question 2
Calcul de

en X=3, il vient le tableau


Le reste de la division de P par est nul. P est divisible par; il vient


Le reste , égal à P(3),est nul.

Exercice 3 question 2
Calcul de

en X=-4, il vient le tableau


Le reste de la division de P par est nul. P est divisible par; il vient


Le reste , égal à P(-4),est nul.

Pour la division de P par X+4:
on a P(-4)=0. On dit alors que -4 est racine du polynôme P. Une racine d'un polynôme est un nombre
réel ou complexe , qui annule le polynôme.
Comme la division euclidienne du polynôme P par (X-(-4))=X+4 donne:
P(X)=(X+4)Q(X)+P(-4)
on voit qu'il est équivalent de dire "P est divisible par X+4" ou P(-4)=0

[lisachatroux]

Ca y est j'ai enfin compris tout ce que tu m'as dit @mathelot sur la division par (x+4) parce qu'en fait le alpha est de -4 ! Et en effet j'ai corrigé mes erreurs de notation.

J'ai fait un exercice sur la méthode de Lagrange, est-ce que tu peux regarder ? Pour la dernière question,
je ne sais pas comment faire.

http://www.noelshack.com/2022-09-4-1646 ... 200352.jpg

http://www.noelshack.com/2022-09-4-1646 ... n-ex-4.png

Egalement pour l'exercice sept je ne savais pas trop comment démarrer : est-ce qu'il faut faire une division par (x-2) comme dans les précédents exercices ?

http://www.noelshack.com/2022-09-4-1646 ... n-ex-7.png

[mathelot]

Exercice 4
l3=-1/4 est erroné.

Base de Lagrange:









tout calcul fait, on obtient:


or

conjecture: La courbe représentative de L est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation X=3/2

Exercice 6



en X=2, il vient le tableau

on en déduit que

P est divisible par

[mathelot]

Il reste un point épineux, c'est le calcul du polynôme dérivé en un point par la méthode de Horner sans dériver le polynôme !! c'est expliqué dans l'article de Wikipédia .

[mathelot]

Exercice VI



Calcul de P'(2) par la méthode d'Horner

en X=2, il vient le tableau


La 2ème ligne du tableau comprenant donne

En faisant le changement d'indéterminée , il vient

On réitère l'algorithme avec à la place de P:
la 3ème ligne du tableau avec donne:

soit

la 4ème ligne du tableau avec donne:

soit
on définit le polynôme H par:



or , on a le développement de Taylor de H:

d'où

[lisachatroux]

Coucou @mathelot en effet après correction je trouve que L3 est égal à -1/6 et que la somme des coeff est égale à 4 sur 3 au final.

Pour l'exercice j'ai enfin compris la méthode d'Horner merci j'ai fait tout comme toi et ai eu juste.

PS : Tu sais que tu me corriges mieux que mon prof ? Je lui ai envoyé l'exo deux et trois et il m'a dit qu'A PRIORI tout était bon alors qu'il y avait plein d'erreurs (les boules)

[mathelot]

Je me suis demandé,as tu eu le temps de lire les trois paragraphes de l'article de wiki sur la méthode de Horner ? Sinon c'est plutôt des bonnes nouvelles que tu m'écris