Bonjour,
J'ai un exercice où je dois calculer les coeff du polynôme d'interpolation par la méthode de Lagrange et de Horner. J'ai commencé avec la méthode de L (mis ci-joint) et je me demandais si ce que je faisais était juste.
Concernant la méthode de Horner, je n'y arrive pas du tout. Je sais juste calculer des divisions par (x-a).
http://www.noelshack.com/2022-07-6-1645 ... l-et-h.jpg
http://www.noelshack.com/2022-07-6-1645 ... n-ex-1.png
Méthode de Horner.
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Re: Méthode de Horner.
par mathelot » 19 Fév 2022, 18:34
Bonjour Lisa,
je traite l'interpolation de Lagrange.
Quels sont les coordonnées des points d'interpolation ? c'est le tableau de l'exercice (I) ?
je traite l'interpolation de Lagrange.
Quels sont les coordonnées des points d'interpolation ? c'est le tableau de l'exercice (I) ?
Modifié en dernier par mathelot le 19 Fév 2022, 19:32, modifié 2 fois.
Re: Méthode de Horner.
par mathelot » 19 Fév 2022, 19:05
On calcule le polynôme d'interpolation de Lagrange avec les données du tableau de l'exercice (I)
=\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(-1)(-2)(-3)})
=-\dfrac{1}{6} (x-1)(x-2)(x-3))
=\dfrac{x(x-2)(x-3)}{(-1)(-2)})
=\dfrac{1}{2}x(x-2)(x-3))
=\dfrac{x(x-1)(x-3)}{2(-1)})
=-\dfrac{1}{2} x(x-1)(x-3))
=\dfrac{x(x-1)(x-2)}{(3)2})
=\dfrac{1}{6}x(x-1)(x-2))
Modifié en dernier par mathelot le 20 Fév 2022, 18:24, modifié 1 fois.
Re: Méthode de Horner.
par mathelot » 19 Fév 2022, 19:21
En développant:
= \dfrac{1}{2}x^3-3x^2+\dfrac{11}{2}x-3)
= - \dfrac{3}{4}x^3+\dfrac{15}{4}x^2-\dfrac{9}{2}x)
=-x^3+4x^2-3x)
= \dfrac{5}{4}x^3-\dfrac{15}{4}x^2+\dfrac{5}{2}x)
on additionne les quatre polynômes avec le logiciel Wolfram Alpha:
= -3 l_0(x)-\dfrac{3}{2} l_1(x)+2 l_2(x)+\dfrac{15}{2} l_3(x))
=(1/2)*x^3-3*x^2+(11/2)*x-3)
*x^3+(15/4)*x^2-(9/2)*x)
*x^3-(15/4)*x^2+(5/2)*x)
Le polynôme de Lagrange vaut:
=x^2+\dfrac{x}{2}-3)
on additionne les quatre polynômes avec le logiciel Wolfram Alpha:
Le polynôme de Lagrange vaut:
Modifié en dernier par mathelot le 20 Fév 2022, 18:34, modifié 2 fois.
Re: Méthode de Horner.
par mathelot » 20 Fév 2022, 12:17
Pour la méthode de Horner, je ne vois pas pour l'instant.
D'où sort l'abscisse x=4 dans tes calculs?
D'où sort l'abscisse x=4 dans tes calculs?
Modifié en dernier par mathelot le 20 Fév 2022, 18:30, modifié 1 fois.
Re: Méthode de Horner.
par GaBuZoMeu » 20 Fév 2022, 14:57
Bonjour,
Tu as sans doute un cours qui explique ce qui est entendu par "méthode d'interpolation de Horner". Moi je ne connais pas. S'agirait-il en fait de l'interpolation de Newton, qui fait intervenir des différences divisées ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_newtonienne
Tu as sans doute un cours qui explique ce qui est entendu par "méthode d'interpolation de Horner". Moi je ne connais pas. S'agirait-il en fait de l'interpolation de Newton, qui fait intervenir des différences divisées ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_newtonienne
Re: Méthode de Horner.
par lisachatroux » 20 Fév 2022, 19:00
Merci pour ton aide @mathelot sur l'interpolation de Lagrange je vois effectivement que j'ai fait des erreurs dans la résolution de mon exercice.
@GaBuZoMeu non justement je n'ai pas pu assister à ce cours et je n'ai pas compris le TD sur cette méthode que je trouve compliquée . Je ne crois pas que ce soit l'interpolation de Newton
@GaBuZoMeu non justement je n'ai pas pu assister à ce cours et je n'ai pas compris le TD sur cette méthode que je trouve compliquée . Je ne crois pas que ce soit l'interpolation de Newton
Re: Méthode de Horner.
par GaBuZoMeu » 20 Fév 2022, 23:00
Je crois au contraire que c'est lié à ça.
Tu peux tout de même récupérer les notes du cours que tu as loupé, non ?
Tu peux tout de même récupérer les notes du cours que tu as loupé, non ?
Re: Méthode de Horner.
par lisachatroux » 21 Fév 2022, 16:41
Non je ne peux pas le cours n'est pas disponible. Ce n'est pas grave si tu ne peux pas m'aider, j'ai vu des messages sur le forum à ce sujet.
Re: Méthode de Horner.
par lisachatroux » 21 Fév 2022, 17:14
@mathelot juste ce n'est pas -1/2 xpuiss3 le premier terme de -3L0 ?
Re: Méthode de Horner.
par mathelot » 21 Fév 2022, 17:51
lisachatroux a écrit:@mathelot juste ce n'est pas -1/2 xpuiss3 le premier terme de -3L0 ?
non, désolé. Le coefficient en facteur devant
Re: Méthode de Horner.
par mathelot » 21 Fév 2022, 23:32
Voici une propriété fabuleuse, le polynôme d'interpolation de Lagrange est égal au polynôme d'interpolation de Newton, noté N.
Polynôme d'interpolation de Newton
On a la base de polynômes de Newton:
=1 , \, n_1(x)=x, \, n_2(x)=x(x-1), \, n_3(x)=x(x-1)(x-2))
le polynôme d'interpolation de Newton s'écrit:
=\Sum_{k=0}^{3} \, a_k \, n_k(x))
Les coefficients (scalaires) a_k sont les différences divisées notées
.
On les calcule à partir du tableau:
=[y_0]+[y_0,y_1]x+[y_0,y_1,y_2]x(x-1)+[y_0,y_1,y_2,y_3]x(x-1)(x-2))
d'où
=-3+\frac{3}{2}x +1x(x-1))
=-3+\frac{3}{2}x +x^2-x=x^2+\dfrac{x}{2}-3)
Polynôme d'interpolation de Newton
On a la base de polynômes de Newton:
le polynôme d'interpolation de Newton s'écrit:
Les coefficients (scalaires) a_k sont les différences divisées notées
On les calcule à partir du tableau:
d'où
Modifié en dernier par mathelot le 22 Fév 2022, 14:21, modifié 2 fois.
Re: Méthode de Horner.
par mathelot » 22 Fév 2022, 12:22
Du coup,on peut appliquer l'algorithme de Horner à l'évaluation du polynôme de Newton
Re: Méthode de Horner.
par lisachatroux » 02 Mar 2022, 16:07
merci @mathelot pour tes explications et cette astuce !
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