Exercices sur les bases

[MathsetZinc]

Bonjour à tous!

J'ai un exercice sur les bases à faire. Tout allait bien jusqu'à ce que je bute sur la dernière partie.

Voici l'énoncé: https://zupimages.net/viewer.php?id=22/37/qabe.jpg

J'ai réussi toutes les questions, sauf les 4 dernières: (généralisation de l'algorithme).

En effet, on nous parle de la suite (qn), or quelle est cette suite? J'ai bien pensé à passer tous les termes de l'autre côté ( Si N=a*q1+r1 , alors q1=(N-r1)/a) mais cela n'a - dans ma réflexion - aucun intérêt, puisqu'il n'est pas possible dans ce cas non plus d'étudier sa monotonie.

Si quelqu'un pourrait m'aider, cela serait super

Merci d'avance

[catamat]

Bonjour

La suite est définie comme ceci :



..............................................

[MathsetZinc]

Bonjour Catamat!

Merci de ta réponse et de cette information

J'ai essayé de calculer Qn+1-Qn afin de trouver si cette suite est décroissante ou non. Or, durant le calcul, je me suis rendu compte qu'il n'est pas possible, en passant par ce chemin ci, de trouver un quelconque résultat pouvant nous mener au fait que cette suite est décroissante. Voici ce que j'ai réalisé, mais qui ne mène à rien...: https://zupimages.net/viewer.php?id=22/37/cey7.jpg

Je me demande donc quel est le sens du "on pourra étudier le signe de 2 termes consécutifs"...

S'il est possible de m'éclairer

Merci!

[catamat]

La question est délicate voire mal posée car la suite dans son ensemble n'est pas strictement décroissante puisqu'elle devient nulle à partir d'un certain rang !

Donc on va se contenter de démontrer que la suite est strictement décroissante tant que ses termes sont strictement positifs.

Il faut bien écrire les données, ici a est supérieur à 2, les sont positifs et pour les qui sont aussi positifs, on va supposer qu'ils sont strictement positifs du moins jusqu'à l'indice n pour lequel on calcule

Le but est de prouver que cette différence est strictement négative, il suffit de remplacer et on y arrive vite...

[MathsetZinc]

Re!

J'ai écouté tes conseils et réalisé ceci: https://zupimages.net/viewer.php?id=22/37/200a.png

Cependant, pour la 2, même problème, mais pire: je n'ai même plus l'ébauche d'une idée, en sachant que je n'avais auparavant jamais vu ce type d'exercice. S'il est possible de juste me donner un bout de piste afin de savoir où commencer?

Merci Encore

[catamat]

Oui mais attention il faut supposer >0 pour que la suite soit strictement décroissante pour tous les termes d'indices inférieurs ou égal à n.

Cette sous suite des srictement positifs va donc finir par prendre une valeur strictement inférieure au nombre a (entier supérieur à 2) , si on note l'indice tel que 0< <a, que peut on dire du terme suivant de cette suite ?

[MathsetZinc]

Re!

Après quelques jours de recherches, je cherche toujours à déterminer le terme suivant à qn0. En effet: celui-ci n'est il pas censé être le dernier de la suite?

Mais je ne reviens pas bredouille: j'ai cherché les questions 3 et 4: Pour la 3, je pense avoir réussi, tandis que la 4... Non (comment prouver l'unicité de l'écriture euclidienne grâce à mon résultat précédent??)

Tu trouveras ce que j'ai fait ici: https://zupimages.net/viewer.php?id=22/38/5ard.jpg

Désolé de ne pas comprendre, cela paraît pourtant simple...

[MathsetZinc]

Re!

Je relance le topic car c'est demain que je dois rendre le travail, or je demeure toujours aussi perdu qu'au départ (sauf pour la question 1, merci pour ces explications)

S'il est toujours possible de m'aider?

Merci!

[MathsetZinc]

Bonsoir,

Après des recherches additionnelles, j'ai bel et bien pu confirmer ma réponse à la question c. J'ai également trouvé la réponse à la question 4 (chaque nombre n'admet en effet qu'une seule division euclidienne possible, et donc un reste qui l'est tout également, prouvant ainsi l'unicité de l'écriture en base a).

Le seul dernier obstacle à franchir est la question B, j'ai encore essayé quelque chose, mais est-ce complet?

n=aq1+r1
q1=aq2+r2
....
qn=aq(n+1)+r(n+1)

On peut donc en déduire:

Donc n>a^2>a^(n+1)
n>a(n+1) ce qui est absurde car le quotient de la division euclidienne doit être inférieur au nombre divisé.

Donc il existe bel et bien un entier n0 tel que qn0= 0