Exo sur les bases duales

[sarah79]

Voici l'énoncé de l'exercice : http://img576.imageshack.us/f/dmalgbrel2.png/

Je bloque a la question d, j'ai trouvé la matrice
M=
1 z1 z1² .... z1^n
.
..
1 z(n+1) z(n+1)² ..... z(n+1)^n

Je cherche a déduire la famille de polynome (P1,...,P(n+1)) dans Cn[X] mais je ne sais pas comment faire, j'ai essayé de procéder dans le sens inverse de la première partie de la question d comme maintenant on connait la matrice M mais j'y arrive pas. Quelqu'un peut-il m'aider?

[arnaud32]

quelle est l'image de la base P que tu cherches par l'appication dont tu as calcule la matrice?

[sarah79]

je ne comprends pas, déja la base P?

[arnaud32]

on te demande de prouver l'existance d'une base P qui a des proprietes par ton application bijective.
peut etre que c'est juste l'image reciproque d'une autre base?

[sarah79]

j'avais penser a la famille (1,X,X²,...,X^n) c'est ça?

[arnaud32]

c'est tout simplement l'image reciproque par ta fonction de la base canonique de

[sarah79]

Donc c'est ça ou pas? jcomprends pas bien

[Harchy]

As tu remarqué que le déterminant de la matrice que tu as trouvé est connu ?
Pour trouver chaque Pi, tu dois résoudre un système de n+1 équations à n+1 inconnues (qui sont les coordonnés de Pi dans la base canonique de Cn[X] ).

Ces indications peuvent te guider pour la question d) seulement alors que celles d' Arnaud donnent un éclairage pour les questions d) et e)

[sarah79]

en quoi le déterminant de la matrrice va t il m'aider?

[Harchy]

C'est le fait qu'il soit non nul qui est à exploiter

[sarah79]

donc elle est inversible

[sarah79]

d'un je vois pas comment calculer le déterminant avec une matrice qui a des z1,z1²..z2, z3 ..
de deux je vois pas a quoi ça m'aide de savoir quelle est inversible

[Harchy]

C'est cela.
Donc si tu traduit l'existence de Pi, tu obtiens un système de Cramer et donc l'existence d'une solution.
Pour la question e), Arnaud te conseille de voir la matrice trouvée au c) comme une matrice de passage.

[Harchy]

C'est un déterminant de type Vandermonde.
Le fait de savoir que la matrice est inversible, te permet de résoudre un système du type P.Pi = ei
où :
P est la matrice trouvée au c) et (ei)
Pi est un vecteur de Cn[X]
ei est le i-ème vecteur de la base canonique de

[arnaud32]

tu as de plus deja montre que la matrice est inversible car elle represente un isomorphisme.

[sarah79]

J'ai regardé ce que c'était qu'un déterminant de type vandermonde mais je reste bloqué.

j'ai écris que
teta(p1)=(Evz1(P1),...,Evz(n+1)(P1))=(1,0,0..,0)

et on cherche D=(d0,...dn) tel que
M.D=teta(P1) donc

d0+d1z1+d2z1²+...+dnz1^n=1
d0+d1z2+...............+dnz2^n=0
...
...
d0+d1z(n+1)+.........+dnz(n+1)^n=0

et donc je bloque je vois pas comment résoudre ça
et ça c'est que pour P1, donc faut procéder pareil pour P2.. jusqu'a Pn+1

pouvez vous m'aider?

[Harchy]

La question qui nous intéresse est : en déduire l'existence d'une famille de polynômes (Pi) vérifiant l'égalité.
Cela veut dire qu'il ne faut pas nécessairement préciser ces solutions.

As tu en cours, fait le lien entre le matrice et système linéaire d'équations définie par cette matrice ?
Ici c'est P.Pi = e

Et comme P est une matrice carrée inversible, on est sur de l'existence d'une solution (elle est même unique)