Exercice sur une suite Un

[misterhyde]

Bonjour le forum ! :we:

Pouvez-vous m'aider à finir un exercice de Mathématiques ? C'est au sujet d'une suite définie par récurrence.

voici la bestiole : Un+1 = Un^3 + 4*Un - 5



1} Je dois tout d'abord calculer les 5 premiers termes
- U0 = 0,5
- U1 = (0,5)^3 + 4*0,5 - 5 = -2,875
- U2 = -40,26..
- U3 = -65422,17..
- U4 = nombre négatif très très grand :-)


En fait j'arrive à voir qu'elle est décroissante et divergente vers -oo mais je ne sais pas comment le démontrer.

Voili voilou, merci d'avance ! Mystère Ail II.

[Nightmare]

Bonjour,


On démontre par récurrence que U(n) est négative à partir du rang 1 et par conséquent la quantitié est négative. La suite U(n) est donc décroissante.

Supposons qu'elle converge vers un nombre l, l vérifie ie . On a donc . l ne peut pas etre négative sinon serait négatif ce qui n'est pas le cas (puisque ça vaut 5). Conclusion, si la suite converge, c'est vers un nombre strictement positif, contradiction avec le fait que la suite soit négative. Finalement la suite diverge, vu qu'elle est décroissante, sa limite est -oo.

[misterhyde]

Bonsoir Nightmare.


Merci de votre réponse. Vous êtes un boss ! :zen:

Bonne fin d'aprés-midi.

Mister Hyde ~ R.L.S.

[Nightmare]

Je t'en prie, bonne fin de journée à toi aussi :happy3:

[leon1789]

On démontre par récurrence que U(n) est négative à partir du rang 1 et par conséquent la quantitié est négative (car <-5). La suite U(n) est donc décroissante.

Supposons :hum:

Justement, on vient de voir
à partir du rang 1
donc . Or tend vers -oo, donc aussi.

[Nightmare]

Qu'as-tu contre le "supposons" leon1789?

Qui plus est, le seul fait que Un soit négative suffit, on s'en fiche qu'elle soit plus petite que -5 !

Un négative donc Un(Un²+3) aussi et par conséquent Un(Un²+3)-5 aussi.

[Nightmare]

D'accord je viens de comprendre en lisant le post sur la preuve par l'absurde. No comment...

[leon1789]

Qu'as-tu contre le "supposons" leon1789?

Simplement que faire une supposition, c'est inutile ici je pense :
Nightmare a écrit: on s'en fiche qu'elle soit plus petite que -5 !

[Nightmare]

Simplement que faire une supposition, c'est inutile ici je pense :
à partir du rang 1, donc est inférieure à une suite arithmétique de raison -5, donc elle tend vers -oo

C'est ton avis, seulement tu as de la chance ici effectivement d'avoir une majoration plutôt simple, ce ne sera pas le cas avec toutes les suites donc pourquoi se priver de ma "supposition inutile" alors qu'elle peut marcher dans 99% des cas alors que ta méthode ne marche que dans à peine 50% des cas?

Ben non, car c'est la raison pour laquelle la suite tend vers -oo. C'est que j'utilise , pas simplement .

C'est peut être TA raison pour laquelle la suite tend vers -oo, pas la mienne, dans ma preuve (qui est d'ailleurs une preuve standard employée au lycée et en supérieur, au cas où tu veuilles aussi te rebeller contre toute la méthodologie française...) le fait qu'elle soit strictement négative suffit.

mais pourquoi ne pas être plus précis ?? Un(Un²+3) < 0 donc Un(Un²+3)-5 < -5 ! Ca coûte quoi ?

Et ca sert à quoi? C'est demandé? C'est crucial dans l'étude? Non ... Encore on aurait demandé une étude plus poussée de la suite (vitesse de convergence par exemple) j'aurais pas dit, mais ici ce n'est pas le cas...

[leon1789]

C'est ton avis, seulement tu as de la chance ici effectivement d'avoir une majoration plutôt simple, ce ne sera pas le cas avec toutes les suites donc pourquoi se priver de ma "supposition inutile" alors qu'elle peut marcher dans 99% des cas alors que ta méthode ne marche que dans à peine 50% des cas?

Je n'ai pas de méthode particulière : majoration (par une suite arithmétique), passage à la limite (cf continuité), tout est bon !

Mon avis est qu'il faut essayer d'utiliser les hypothèses que l'on a sous les yeux, avant d'aller en chercher ailleurs si je peux dire.

C'est peut être TA raison pour laquelle la suite tend vers -oo, pas la mienne, dans ma preuve (...) le fait qu'elle soit strictement négative suffit.

Le fait que soit une suite décroissante et négative ne suffit pas pour trouver une contradiction. Tu as utilisé autre chose, à savoir que ?
D'un coté, tu dis "on s'en fiche de , il suffit de retenir ". D'un autre coté, pour conclure ta preuve tu utilises ...

Et ca sert à quoi? C'est demandé? C'est crucial dans l'étude? Non ...

Face à ton raisonnement, je pourrais exactement te poser les mêmes questions !
Pour toi, le must, c'est de faire une preuve qui en montrent le moins possible ? Ce n'est pas ma manière de voir les choses. Tu as le droit de penser ce que tu veux (puisque tu es couvert par toute la méthodologie française :we: )

[Nightmare]

Tu as utilisé autre chose, à savoir que 0 < 5

Wow... Il est vrai que ça complexifie totalement ma preuve d'appeler ce résultat qu'on connait depuis la maternelle...

Non mon but n'est pas d'en faire le moins possible, mon but est de m'en tenir à l'exercice et aux méthodes proposées en cours, si tu veux étaler ta science méthodologique et révolutionner l'enseignement en proposant des méthodes qui selon toi permettrait d'avoir une meilleure vision des exercices et des objets étudier, je ne pense pas que ce soit le bon forum...

Pour diminuer le caractère agressif de mon message, je tiens à te signaler que même si je te contredis je suis d'accord avec toi, ma résolution est concise mais trop terre à terre, si j'avais à étudier une suite proprement, je chercherais comme tu l'as fait un majorant qui nous permette de situer la suite au voisinage de l'infini, j'irai même bien sûr jusqu'à chercher un développement asymptotique, seulement comme je te l'ai dit, ce n'est (malheureusement) pas les méthodes proposés au lycée ni au début du supérieur, et j'ai appris rapidement en donnant des cours particuliers et en voyant les réactions des élèves qu'essayer de leur inculquer de nouvelles méthodes lorsqu'on leur appris toute leur vie étudiante à s'en tenir au minimum et a priori au plus simple, c'est vraiment difficile et on arrive rapidement à perdre l'élève. D'où le fait que je m'en tienne, à contre coeur, à ce genre de résolution.
Ce message aurait sa place aussi dans ton post pour l'absurde, effectivement cette preuve n'apporte pas beaucoup de renseignement bien qu'elle permette d'arriver souvent au but, mais elle a le mérite d'être simple et souvent comprise par la majorité des élèves, à l'opposé des preuves directes souvent trop "recherchées" pour être comprises. Rappelons que l'enseignement ne cherche pas à rendre les élèves bons mais à les rendre moins mauvais...

Amicalement.

[leon1789]

Non mon but n'est pas d'en faire le moins possible, mon but est de m'en tenir à l'exercice et aux méthodes proposées en cours,

Tu penses qu'une majoration par une suite tendant vers -oo n'est pas au programme du lycée. C'est possible (mais ça m'étonne), et ce serait triste.

si tu veux étaler ta science méthodologique et révolutionner l'enseignement en proposant des méthodes qui selon toi permettrait d'avoir une meilleure vision des exercices et des objets étudier, je ne pense pas que ce soit le bon forum...

Ma science méthodologique est un bien grand mot, mais pourquoi ne pourrais-je pas exposer ce que je pense.
Si tu as un autre forum à me proposer, je suis preneur.

Pour diminuer le caractère agressif de mon message

On peut être d'avis différents, pas de problème :we: (mais je suis têtu :id:)

je tiens à te signaler que même si je te contredis je suis d'accord avec toi, ma résolution est concise mais trop terre à terre, si j'avais à étudier une suite proprement, je chercherais comme tu l'as fait un majorant qui nous permette de situer la suite au voisinage de l'infini, j'irai même bien sûr jusqu'à chercher un développement asymptotique, seulement comme je te l'ai dit, ce n'est (malheureusement) pas les méthodes proposés au lycée ni au début du supérieur, et j'ai appris rapidement en donnant des cours particuliers et en voyant les réactions des élèves qu'essayer de leur inculquer de nouvelles méthodes lorsqu'on leur appris toute leur vie étudiante à s'en tenir au minimum et a priori au plus simple, c'est vraiment difficile et on arrive rapidement à perdre l'élève. D'où le fait que je m'en tienne, à contre coeur, à ce genre de résolution.
Ce message aurait sa place aussi dans ton post pour l'absurde, effectivement cette preuve n'apporte pas beaucoup de renseignement bien qu'elle permette d'arriver souvent au but, mais elle a le mérite d'être simple et souvent comprise par la majorité des élèves, à l'opposé des preuves directes souvent trop "recherchées" pour être comprises. Rappelons que l'enseignement ne cherche pas à rendre les élèves bons mais à les rendre moins mauvais...

Amicalement.

Oui, ce que tu dis se tient. Il y a un juste milieu dans l'exigence face à un élève. Mais je tiens à mes "illusions". D'ailleurs, est-ce que l'habitude des élèves à faire des raisonnements par l'absurde ne vient pas de la même habitude chez leurs enseignants ?

Si tu es d'accord, je copie ton message dans la discussion "raisonnement par l'absurde". (à moins que tu veuilles le faire :id: )

[Nightmare]

C'est l'évolution des générations qui a voulu que les professeurs changent leur méthodes d'enseignement en même temps que les élèves ont changé leur méthode d'apprentissage :lol3: Comme je l'ai dit dans un autre topic, les élèves ont tendance à apprendre par coeur les méthodes plutôt qu'à réfléchir au pourquoi du comment (je sais, je dois être mal placé pour juger ainsi, étant moi même élève et qui plus est seulement en deuxième année du supérieur).

Pour ce qui est d'exposer ce que tu penses, même si ça semble "dépasser" le cadre du topic en terme de "niveau méthodologique", oui tu peux le faire, j'ai juste perçu ton message comme une rectification du mien plutôt qu'un apport, d'où ma réaction...

Tu peux copier le message dans ton topic si tu veux.

:happy3:

[leon1789]

Juste une remarque : je crois que le raisonnement par l'absurde n'est pas explicitement/officiellement au programme du lycée. On peut le regretter : ce serait peut-être l'occasion de faire un tout petit peu de logique pour une fois.

[leon1789]

Un exemple (petit, très petit...) de ce que je veux dire par retenir le résultat mais aussi les preuves (quand elles le permettent)



Imaginons le texte suivant :

Soit la suite Un définie par U0 = -1 et Un+1 = Un^3 + 4*Un - 5

1} Montrer que Un est (strictement) négative

2} Montrer que Un est décroissante

3} En déduire que Un tend vers -oo

Réponse à 1} :
par récurrence [ alors , donc . Mais d'où contradiction ! Conclusion : pour tout n ,

Une autre réponse à 2} :
"directement" : donc, pour tout n,

Réponse à 3} :
Ici, la manière d'avoir répondu à la question 2} et ce qu'on a retenu de la preuve est important !

En effet, si on a fait un raisonnement par l'absurde dans pour 2}, on sait que Un est décroissante : elle possède donc une limite dans . Il reste à montrer que cette limite est -oo. Peut-être va-t-on le faire encore par l'absurde...

Si on a fait le second raisonnement "direct" dans pour 2} et qu'on ne retient que la conclusion, alors on sait que Un est décroissante : elle possède donc une limite dans . Il reste à montrer que cette limite est -oo...

Mais on a fait le second raisonnement "direct" dans pour 2} et qu'on relie la preuve, on voit que pour tout n. Il est alors évident que Un tend vers -oo ! A U0, si on retire 5 (ou davantage) une infinité de fois, il ne reste pas grand chose...

Enfin, il est clair que cette possibilité de relecture dans un raisonnement par l'absurde est impossible, puisqu'on ne connait pas la valeur de vérité des assertions établies dans un tel raisonnement. Dans un raisonnement "direct", on sait que tout ce qui est écrit est vrai, donc réutilisable plus tard si nécessaire.