Exercice sur les suites.

[infernaleur]

Bonsoir !
J'aurais besoin d'aide pour un exercice de niveau math sup qui me pose problème, voici l'énoncé :

Soit (un) une suite de réels vérifiant un+1=|un-n| pour tout n. Déterminer un équivalent de un.

En partant d'une disjonction de cas (Un>n ou Un <=n) j'en est déduit en supposant le cas Un>n que la suite était strictement décroissante a partir d'un certain (en utilisant la formule de récurrence) et comme on sait que Un>n on en déduit lim Un = +l'infini ce qui me parait absurde.
Il me reste donc Un<=n et j’obtiens la relation Un+1+Un=n mais je n'arrive plus à avancer.

Merci d'avance pour votre aide !

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas grand chose à ton laïus concernant une disjonction de cas :
- Est-ce que tu suppose que pour UN CERTAIN n ?
Dans ce cas, tu risque pas de faire une quelconque récurrence ou quoi que ce soit du même style concernant un truc vrai uniquement pour UN entier donné.
- Ou bien est-ce que tu suppose que pour TOUT ENTIER n ?
Dans ce cas, ta "disjonction de cas", c'est évidement n'importe quoi vu qu'il est plus que probable que ne soit pas de signe constant et donc que les deux phrases " pour tout " et " pour tout " soient toutes les deux fausses.

Sinon, au niveau de la démarche, c'est effectivement pas con de commencer par voir que l'hypothèse " pour tout entier " conduit à une contradiction.
Mais tout ce que ça signifie, ben c'est juste qu'il existe un entier tel que et il faut regarder ce qu'on peut en déduire concernant les termes suivants...
Sinon, si pour un certain tu as à la fois et aussi ça implique immédiatement que .

[infernaleur]

Merci d'avoir pris le temps de répondre

En effet je supposais qu'il existe n0 tel que u(n0)<=n0 donc pour tout n=>no Un<=n donc je me placer dans les cas ou n est toujours plus grand que n0 ce qui ne semble pas poser de problème car nous cherchons un équivalent en l’infini ais-je tort ?
Bien vu la formule que vous obtenez je n'y avais pas penser je vais donc essayer d'avancer maintenant .

[infernaleur]

En résolvant la forme récurrente linéaire d’ordre 2 j’obtiens:

Un=n/2 +A(-1)^n + B avec A et B réels

Or A(-1)^n+B négligeable devant n/2

Un=n/2 + o(n/2) (coefficient de landau en + l'infini)

donc Un équivalent à n/2

Est ce que mon résonnement est juste ?

[Ben314]

Oui, c'est bon.