Exercice sur les suites
25 messages
- Page 1 sur 2 - 1, 2
par Nightmare » 04 Déc 2010, 01:06
Salut,
as-tu des idées? Première question : Quelle est la définition d'une suite de Cauchy?
as-tu des idées? Première question : Quelle est la définition d'une suite de Cauchy?
par Ben314 » 04 Déc 2010, 18:32
Ca, à mon avis, tu n'as pas le droit de l'écrire vu la philosophie du problème car ça sous entend que tu sait déjà que la fonction x->c^x est continue en 0 (pour avoir le droit de passer à la limite) et je voudrait bien savoir comment tu fait pour le montrer (et même pour définir x->c^x) avant d'avoir défini la fonction exponentielle.Megane86000 a écrit:...Sinon il est évident que limn;);) c^(1/n) = 1 car 1/n donne 0 quand n tend vers l'infini et un réel exposant 0 donne 1 ...
A mon avis, il faut partir de ce que tu as montré : (1+x/n)^n>=1+x>=1 (pour x>=0) qui signifie que 1+x/n>=(1+x)^(1/n)>=1 (car t->t^n est croissante de R+ dans R+ donc sa bijection réciproque t->t^(1/n) aussi)
Tu en déduit que, si c>=1, en écrivant c=1+x, tu as...
Tu traite ensuite le cas 0<c<=1 en te ramenant au cas précédent.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 04 Déc 2010, 23:58
Dans le cas où x=0 alors un minorant bien plus simple est 1.
Pour 01 et décroissante lorsque 0<a<1 ? (si on ne le suppose pas connu, ben faut le démontrer...)
Pour 01 et décroissante lorsque 0<a<1 ? (si on ne le suppose pas connu, ben faut le démontrer...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 05 Déc 2010, 17:42
Bon, ici, le passage par les suites de Cauchy est INDISPENSABLE et il n'est absolument pas là pour "compliquer" l'exercice.
Tu doit effectivement montrer que a^qn est borné, mais je vois pas d'où tu sort qu'il faut montrer que ça tend vers 1 !!!!
Ce qu'il faut montrer, c'est qu'on peut rendre |1-a^(q_n-q_m)| aussi petit qu'on veut à condition de prendre n,m assez grands.
Tu doit effectivement montrer que a^qn est borné, mais je vois pas d'où tu sort qu'il faut montrer que ça tend vers 1 !!!!
Ce qu'il faut montrer, c'est qu'on peut rendre |1-a^(q_n-q_m)| aussi petit qu'on veut à condition de prendre n,m assez grands.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Megane86000 » 05 Déc 2010, 18:26
Quand je dis que (a^qn) tend vers 1 c'est en prenant la suite de l'énoncé , en disant que (a^qn) = (a^(m/n)) = (a^(1/n))^m et comme (a^(1/n) tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini : (a^(1/n))^m tend vers 1 aussi mais ça n'a rien avoir avec la résolution de l'exercice pas Cauchy c'est vrai ^^
pour montrer que |1-a^(q_m-q_n)| (et pas qn-qm ?) peut être aussi petit qu'on veut, je dois simplement trouver les 2 m,n les plus petits possibles pour que ça marche ou y'a autre chose là-dessous ?
pour montrer que |1-a^(q_m-q_n)| (et pas qn-qm ?) peut être aussi petit qu'on veut, je dois simplement trouver les 2 m,n les plus petits possibles pour que ça marche ou y'a autre chose là-dessous ?
par Megane86000 » 06 Déc 2010, 20:21
Salut, j'ai essayé d'avancer mais ça ne va pas :(
La suite a^qn est dite de Cauchy si pour tout Epsilon > 0, il existe N (naturel) tel que si m,n >= N alors |a^qn - a^qm| < Epsilon.
|a^qn - q^qm| = |a^qn| * |1-a^qm-qn| < Epsilon
___
Alors c'est là que mes problèmes commencent :p
Déjà je ne vois pas pourquoi tu dis qu'il suffit de montrer que |a^qn| est bornée alors qu'on utilise justement cauchy pour montrer qu'une suite qui n'est pas bornée converge sans en donner la limite ?!
Et pour le 2ème terme j'ai essayé de développer le calcul mais ça ne me donne rien de "joyeux"
|1-a^qm-qn| < Ep
|-a^qm-qn| < Ep - 1
|a^qm-qn| < Ep - 1
|a^r/n-r/n| < Ep - 1
|a^r(n-m)/mn < Ep - 1
où r est un entier
?! Help :hein:
La suite a^qn est dite de Cauchy si pour tout Epsilon > 0, il existe N (naturel) tel que si m,n >= N alors |a^qn - a^qm| < Epsilon.
|a^qn - q^qm| = |a^qn| * |1-a^qm-qn| < Epsilon
___
Alors c'est là que mes problèmes commencent :p
Déjà je ne vois pas pourquoi tu dis qu'il suffit de montrer que |a^qn| est bornée alors qu'on utilise justement cauchy pour montrer qu'une suite qui n'est pas bornée converge sans en donner la limite ?!
Et pour le 2ème terme j'ai essayé de développer le calcul mais ça ne me donne rien de "joyeux"
|1-a^qm-qn| < Ep
|-a^qm-qn| < Ep - 1
|a^qm-qn| < Ep - 1
|a^r/n-r/n| < Ep - 1
|a^r(n-m)/mn < Ep - 1
où r est un entier
?! Help :hein:
par Megane86000 » 07 Déc 2010, 19:46
Désolée d'insister mais je tenais à préciser que j'ai demandé à une étudiante en Master 1 Math de m'aidée et elle n'a pas réussi à le faire clairement, elle constate que l'idée est bonne mais ne voit pas comment obtenir la réponse ... Donc si j'insiste ce n'est pas de la mauvaise volonté de ma part c'est juste que c'est assez compliqué ^^
par Ben314 » 07 Déc 2010, 22:17
Bon, vue la philosophie du problème :
1) Il faudrait normalement commencer par montrer que la définition donnée dans l'énoncé est cohérente, c'est à dire que, si un quotient s'écrit q=m/n=m'/n' alors les deux réels (a^m)^(1/n) et (a^m')^(1/n') sont égaux : ce n'est pas trés dur : si on note c et c' ces deux réels alors c^n=a^m et c^n'=a^m' donc c^(nn')=a^(mn')=a^(m'n)=c'^(nn') donc c=c'.
2) Ca serait pas mal non plus de montrer que (c^m)^(1^n)=(c^(1/n))^m (assez clair en élevant à la puissance n les deux termes)
3) Autre étape utile : montrer que, si q=q'+q" alors a^q=a^q'.a^q" : pas trop dur à condition de dire graçe au 1) que l'on peut considérer que q et q' ont même dénominateur.
4) Il faut ensuite montrer que, pour a fixé, la fonction de Q dans R : q->a^q est croissante si a>1 et décroissante sinon : pas super dur non plus : si q>q', alors a^q=a^(q-q').a^q et, si a>1 alors a^(q'-q)>1 ; si a<1 alors a^(q'-q) <1.
5) La monotonie de q->a^q montre que, si une suite qn est bornée alors la suite a^qn l'est aussi.
6) La monotonie permet aussi de montrer que, vu que a^(1/n) tend vers 1 lorsque n->oo, en fait, a^q peut être rendu aussi proche que l'on veut de 1 à coondition de prendre q suffisement proche de 0.
7) On en déduit que, si qn est une suite de cauchy de quotients, on peut rendre qn-qm aussi petit qu'on veut en prenant n et m assez grand et donc que l'on peut rendre a^(qn-qm) aussi proche que l'on veut de 1.
1) Il faudrait normalement commencer par montrer que la définition donnée dans l'énoncé est cohérente, c'est à dire que, si un quotient s'écrit q=m/n=m'/n' alors les deux réels (a^m)^(1/n) et (a^m')^(1/n') sont égaux : ce n'est pas trés dur : si on note c et c' ces deux réels alors c^n=a^m et c^n'=a^m' donc c^(nn')=a^(mn')=a^(m'n)=c'^(nn') donc c=c'.
2) Ca serait pas mal non plus de montrer que (c^m)^(1^n)=(c^(1/n))^m (assez clair en élevant à la puissance n les deux termes)
3) Autre étape utile : montrer que, si q=q'+q" alors a^q=a^q'.a^q" : pas trop dur à condition de dire graçe au 1) que l'on peut considérer que q et q' ont même dénominateur.
4) Il faut ensuite montrer que, pour a fixé, la fonction de Q dans R : q->a^q est croissante si a>1 et décroissante sinon : pas super dur non plus : si q>q', alors a^q=a^(q-q').a^q et, si a>1 alors a^(q'-q)>1 ; si a<1 alors a^(q'-q) <1.
5) La monotonie de q->a^q montre que, si une suite qn est bornée alors la suite a^qn l'est aussi.
6) La monotonie permet aussi de montrer que, vu que a^(1/n) tend vers 1 lorsque n->oo, en fait, a^q peut être rendu aussi proche que l'on veut de 1 à coondition de prendre q suffisement proche de 0.
7) On en déduit que, si qn est une suite de cauchy de quotients, on peut rendre qn-qm aussi petit qu'on veut en prenant n et m assez grand et donc que l'on peut rendre a^(qn-qm) aussi proche que l'on veut de 1.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Megane86000 » 08 Déc 2010, 00:46
Merci beaucoup !!!
Je pense que ça devrait suffire comme argumentation vu qu'il n'est pas possible de donner une valeur précise à m et n que m'a dit l'étudiante comme pour dans d'autres exercices :)
Je demanderai quand même à un prof si cela suffit comme explication (même si c'est plus dur de faire mieux ^^ )
Allez demain j'attaque le 2 qui sera plus facile je l'espère :we:
Bonne nuit
Je pense que ça devrait suffire comme argumentation vu qu'il n'est pas possible de donner une valeur précise à m et n que m'a dit l'étudiante comme pour dans d'autres exercices :)
Je demanderai quand même à un prof si cela suffit comme explication (même si c'est plus dur de faire mieux ^^ )
Allez demain j'attaque le 2 qui sera plus facile je l'espère :we:
Bonne nuit
par Megane86000 » 09 Déc 2010, 20:14
Salut !
Pour le 1° je crois que tu as tout dit , j'ai tout compris et démontré ce qu'il fallait donc je crois que je peux passer au 2° (je demanderai quand même à mon prof demain si c'est bon ou pas ^^)
Alors il me parait un peu trop simple vu le niveau global des autres questions mais bon ... peut-être que je m'améliore :we:
==> Soient Pn et Qn, deux suites convergentes de rationnels. Pn = m/n et Qn = m'/n'
On sait que lim n=>oo m/n = y = lim n' => oo m'/n' car quelque soit m et m', y = 0 lorsque n et n' tendent vers l'infini. En effet, m/oo = m'/oo = 0
On peut donc montrer que a^(m/n) (la suite a^pn) et a^(m'/n') (a^qn) ont la même limite :
lim n=>oo a^(m/n) = a^0 = 1
et lim n'=>oo a^(m'/n') = a^0 = 1
Donc les suites (a^(pn)) et (a^(qn)) ont la même limites, ils convergent vers 1.
Correct :hein:
Pour le 1° je crois que tu as tout dit , j'ai tout compris et démontré ce qu'il fallait donc je crois que je peux passer au 2° (je demanderai quand même à mon prof demain si c'est bon ou pas ^^)
Alors il me parait un peu trop simple vu le niveau global des autres questions mais bon ... peut-être que je m'améliore :we:
==> Soient Pn et Qn, deux suites convergentes de rationnels. Pn = m/n et Qn = m'/n'
On sait que lim n=>oo m/n = y = lim n' => oo m'/n' car quelque soit m et m', y = 0 lorsque n et n' tendent vers l'infini. En effet, m/oo = m'/oo = 0
On peut donc montrer que a^(m/n) (la suite a^pn) et a^(m'/n') (a^qn) ont la même limite :
lim n=>oo a^(m/n) = a^0 = 1
et lim n'=>oo a^(m'/n') = a^0 = 1
Donc les suites (a^(pn)) et (a^(qn)) ont la même limites, ils convergent vers 1.
Correct :hein:
par Ben314 » 09 Déc 2010, 21:54
Ben non, ça déconne complet :
En fait, on sait d'avance (mais on a pas le droit de l'utiliser) que, si pn est une suite de rationnels qui tend vers y alors a^pn tend vers a^y=exp(y.ln(a)) qui n'est égal à 1 que si y=0 et je ne vois vraiment pas pourquoi une suite de quotients qui converge devrait forcément converger vers 0 !!!
Je te fabrique fastoche une suite de quotients qui tend vers 1 : pn=1-1/n voir même (à peine moins fastoche) une suite de quotients qui tend vers racine(2) ou vers pi ou d'ailleurs vers n'importe quel réel...
Ici, pour montrer que a^pn et a^qn ont même limite, vu qu'on ne sait pas quelle est la limite (car on a montré l'existence de ces limites à l'aide des suites de Cauchy), je pense qu'il n'y a qu'un seul moyen : montrer que a^pn-a^qn tend vers 0.
Cela ce fait de manière trés analogue au 1)...
En fait, on sait d'avance (mais on a pas le droit de l'utiliser) que, si pn est une suite de rationnels qui tend vers y alors a^pn tend vers a^y=exp(y.ln(a)) qui n'est égal à 1 que si y=0 et je ne vois vraiment pas pourquoi une suite de quotients qui converge devrait forcément converger vers 0 !!!
Je te fabrique fastoche une suite de quotients qui tend vers 1 : pn=1-1/n voir même (à peine moins fastoche) une suite de quotients qui tend vers racine(2) ou vers pi ou d'ailleurs vers n'importe quel réel...
Ici, pour montrer que a^pn et a^qn ont même limite, vu qu'on ne sait pas quelle est la limite (car on a montré l'existence de ces limites à l'aide des suites de Cauchy), je pense qu'il n'y a qu'un seul moyen : montrer que a^pn-a^qn tend vers 0.
Cela ce fait de manière trés analogue au 1)...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Megane86000 » 09 Déc 2010, 22:41
Je pensais que qn était d'office un entier m divisé par un autre entier strictement positif n , et que donc on n'avait toujours la même suite : m/1; m/2; m/3; ...
Et que donc lim n=>oo a^(m/n) = (a^(1/n))^m , sachant que a^(1/n) tend vers 1 , 1^m = 1 , bref je n'avais rien compris en gros -_-'
Merci pour ton aide en tout cas, je vais partir de ta base donc et essayer de le faire toute seule, mais à vue d'oeil ça ressemble à 2 goutes d'eau au 1er donc ça devrait bien se passer !
A la prochaine question :we:
edit : euh finalement c'est moins clair que je ne le pensais ... Je suppose qu'il est trop simple de dire que si Qn et Pn ont la même limite. Lim n=>oo Pn = y = Lim n=>oo Qn.
lim n=>oo (a^(qn) - a^(pn) = lim n=>oo a^(qn) - lim n=>oo a^(pn) = a^(y) - a^(y) = 0
Et que donc lim n=>oo a^(m/n) = (a^(1/n))^m , sachant que a^(1/n) tend vers 1 , 1^m = 1 , bref je n'avais rien compris en gros -_-'
Merci pour ton aide en tout cas, je vais partir de ta base donc et essayer de le faire toute seule, mais à vue d'oeil ça ressemble à 2 goutes d'eau au 1er donc ça devrait bien se passer !
A la prochaine question :we:
edit : euh finalement c'est moins clair que je ne le pensais ... Je suppose qu'il est trop simple de dire que si Qn et Pn ont la même limite. Lim n=>oo Pn = y = Lim n=>oo Qn.
lim n=>oo (a^(qn) - a^(pn) = lim n=>oo a^(qn) - lim n=>oo a^(pn) = a^(y) - a^(y) = 0
par Megane86000 » 11 Déc 2010, 12:07
Salut,
Je me suis renseignée pour les exos :
le 1 est correct et parfaitement justifié (merci ben ^^)
pour le 2 ma réponse est juste MAIS le prof ne sait pas quel degré de précision il faut apporter (il devait seulement se renseigner ...) mais donc il est probable que je doive plus justifier cette réponse. Il parlait de peut-être montrer que a^qn et a^pn sont deux suites convergentes via la définition avec Epsilion > 0 etc ... qu'est-ce vous en pensez ?
Je me suis renseignée pour les exos :
le 1 est correct et parfaitement justifié (merci ben ^^)
pour le 2 ma réponse est juste MAIS le prof ne sait pas quel degré de précision il faut apporter (il devait seulement se renseigner ...) mais donc il est probable que je doive plus justifier cette réponse. Il parlait de peut-être montrer que a^qn et a^pn sont deux suites convergentes via la définition avec Epsilion > 0 etc ... qu'est-ce vous en pensez ?
par Ben314 » 11 Déc 2010, 12:51
Perso, j'aurais fait quasi pareil qu'au 1) :
Si (pn) et (qn) sont deux suites de quotients qui ont la même limite y (qui n'est pas forcément un quotient donc il est interdit d'écrire a^y pour le moment) on a :
|a^pn-a^qn|=|a^pn|.|1-a^(qn-pn)|.
- Comme la suite (pn) est convergente, elle est bornée et donc (c.f.5) du post au dessus) la suite (a^pn) est bornée.
- Comme (pn) et (qn) ont même limite, la suite (qn-pn) tend vers 0 donc (c.f. 6) du post au desus) la suite a^(qn-pn) tend vers 1
On en déduit bien que |a^pn-a^qn| tend vers 0.
Si (pn) et (qn) sont deux suites de quotients qui ont la même limite y (qui n'est pas forcément un quotient donc il est interdit d'écrire a^y pour le moment) on a :
|a^pn-a^qn|=|a^pn|.|1-a^(qn-pn)|.
- Comme la suite (pn) est convergente, elle est bornée et donc (c.f.5) du post au dessus) la suite (a^pn) est bornée.
- Comme (pn) et (qn) ont même limite, la suite (qn-pn) tend vers 0 donc (c.f. 6) du post au desus) la suite a^(qn-pn) tend vers 1
On en déduit bien que |a^pn-a^qn| tend vers 0.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
25 messages
- Page 1 sur 2 - 1, 2
-
- Sujets en relation
- Réponses
- Vues
- Dernier message
-
- Aide exercice sur les suites
par kylliand » 12 Juil 2016, 14:58
- 13 Réponses
- 2381 Vues
- Dernier message par Pseuda
18 Juil 2016, 18:56
- Aide exercice sur les suites
-
- Exercice sur les suites en prépa
par minipouss » 11 Sep 2006, 21:44 - 6 Réponses
- 1379 Vues
- Dernier message par minipouss
13 Sep 2006, 17:24
- Exercice sur les suites en prépa
-
- [Résolu] Exercice sur les suites convegentes
par BENCLUB » 05 Déc 2009, 12:11 - 10 Réponses
- 1162 Vues
- Dernier message par BENCLUB
05 Déc 2009, 13:13
- [Résolu] Exercice sur les suites convegentes
-
- Exercice sur les suites
par titeelo11 » 18 Jan 2011, 21:12 - 17 Réponses
- 946 Vues
- Dernier message par fatal_error
21 Jan 2011, 21:30
- Exercice sur les suites
-
- Finaliser un exercice sur les suites !
par romtherekins » 07 Fév 2010, 13:16 - 3 Réponses
- 792 Vues
- Dernier message par Sa Majesté
07 Fév 2010, 14:25
- Finaliser un exercice sur les suites !
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 75 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :