Exercice sur les fonctions

[Florix]

Bonjour,

Voila un exercice dont les questions sont simples et dont pourtant les réusultats m'échappent ! Même avec le théorème des acroissements finis je n'ai pas réussi :

1° Montrer que quelquesoit t appartient à R, -1 < 2t/(1+t^2) < 1 (inférieur ou égal)

2° On désigne par f une fonction d'une variable réelle dérivable sur R telle que quelquesoit (x,y) appartient à R^2,

f (x + y) = [ f(x) + f(y) ] / [ 1 + f(x) f(y) ]

Montrer que quelquesoit x appartient à R, -1 < f(x) < 1 (inférieur ou égal)

3° Trouver toutes les fonctions qui vérifient quelquesoit (x,y) appartient à R^2, f (x + y) = [ f(x) + f(y) ] / [ 1 + f(x) f(y) ]

Merci d'avance pour votre aide

Florix

[nuage]

Salut,

pour la question 1 il suffit d'étudier les variations de la fonction

Pour la question 2 on peut calculer f(2x), faire le lien avec la question 1, et remarquer que tout réel est le double d'un autre.

A+

[Nota-Bene19]

Salut;
pour la 1ere question : on a quel que soit t dans R : (1+t)² > 0 , donc 1+2t+t² > 0. d'ou -(1+t²) < 2t ====> -1 < 2t/(1+t²)....et on fait la meme chose pour l'autre . j'ai pas un papier pour bien réflichir car je suis au cybernet...

[abcd22]

On peut aussi utiliser une astuce pour le 1 si on connaît ses formules trigo : pour , et tout nombre réel peut s'écrire sous la forme tan(x/2) avec .