Exercice sur les séries de fonctions

par **jonses** » 03 Juil 2015, 18:57

Bonjour ou bonsoir,

j'essaye de faire un exercice sur les séries de fonctions, et je pense avoir réussi partiellement l'exo mais il y a toujours une question qui me pose problème. J'ai passé un moment dessus, mais je ne vois pas comment faire, et j'ai l'impression d'être à côté de la plaque plus je réfléchis dessus.

---

Soit

une application continue de

dans

On pose pour tout

et tout

:

Je dois :

1) montrer que

est bien définie sur R+

2) calculer g en fonction de

---

J'ai réussi à montrer 1) :

est définie sur R+ .
Mais je bloque sur la 2)

Rapidement : les

sont toutes définies et continues sur R+ (rapide récurrence)

j'ai posé

et pour n>0

j'ai montré ensuite que la série de fonctions

converge normalement sur tout segment S de R+, ce qui m'a donné d'une part que g est définie sur R+ et en plus continue (en tant que limite uniforme sur tout segment de R+ de fonctions continues)

De plus, j'ai aussi

et en utilisant un argument dinterversion série/intégrale j'ai trouvé que :

Mais voilà, le problème c'est que je n'ai pas exprimé g en fonction que de

, et j'arrive pas à avancer depuis, je tourne en rond.

Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

par **zygomatique** » 03 Juil 2015, 19:05

salut

ou encore (après avoir justifier) :: G'(x) = f_0(x) + G(x) qui est une équation différentielle du premier ordre ...

par **jonses** » 03 Juil 2015, 19:47

zygomatique a écrit:salut

ou encore (après avoir justifier) :: G'(x) = f_0(x) + G(x) qui est une équation différentielle du premier ordre ...

Comment j'ai pas pu voir ça .... j'ai trop honte

par **Pythales** » 04 Juil 2015, 16:04

jonses a écrit:Comment j'ai pas pu voir ça .... j'ai trop honte

Ou plutôt

Comment prouves-tu que la série

converge ?

par **zygomatique** » 04 Juil 2015, 17:45

oui mais avec ton expression cela suppose f_0 dérivable .... ce qui n'est pas dit dans l'énoncé ...

mon écriture permet de se dispenser de cette hypothèse ...

par **jonses** » 06 Juil 2015, 10:06

Pythales a écrit:

Comment prouves-tu que la série converge ?

Je prend un segment

dans R+ et je pose

qui existe car

est continue

Je montre par récurrence que

C'est pas compliqué à montrer

Du coup

ce qui montre la convergence normale de

sur S=[0,b] avec 0<b quelconque, et donc tout le reste en découle

par **zygomatique** » 06 Juil 2015, 11:08

il me semble que

....

par **Pythales** » 06 Juil 2015, 20:26

zygomatique a écrit:il me semble que ....

Justement. Je ne vois pas l'utilité d'avoir introduit

alors qu'il était plus direct de raisonner sur

par **jonses** » 06 Juil 2015, 22:50

En effet

n'a aucun intérêt... je suis passé à côté de l'essentiel

par **Ben314** » 07 Juil 2015, 00:42

Salut,
Sauf erreur, on peut aussi directement expliciter les fonction

:

La preuve se fait évidement par récurrence en utilisant Fubini pour permuter les deux signe "intégrale".

par **Pythales** » 07 Juil 2015, 14:51

Ben314 a écrit:Salut,
Sauf erreur, on peut aussi directement expliciter les fonction :
La preuve se fait évidement par récurrence en utilisant Fubini pour permuter les deux signe "intégrale".

Qu'est ce que c'est que

?

par **zygomatique** » 07 Juil 2015, 17:52

f_0 ............

par **Pythales** » 07 Juil 2015, 20:03

zygomatique a écrit:f_0 ............

Si c'est ça, ça donne

!!!

par **zygomatique** » 07 Juil 2015, 23:15

Pythales a écrit:Si c'est ça, ça donne !!!

non ça donne

bon je n'ai pas tout à fait comme Ben314 .... mais le principe est là :: c'est comme le développement de Taylor ....

et donc

...

par **Ben314** » 08 Juil 2015, 02:19

Effectivement, j'ai écrit ça à la "va vite"
- Il manque l'indice 0 sous le f qu'on intègre
- Il y a une erreur d'indice et la formule que je donne doit plutôt être celle de f_{n-1}.

Bon, on va dire comme zigomatique que "c'est le principe qui compte"... :ptdr:

par **zygomatique** » 08 Juil 2015, 11:12

Ben314 a écrit:Effectivement, j'ai écrit ça à la "va vite"
- Il manque l'indice 0 sous le f qu'on intègre
- Il y a une erreur d'indice et la formule que je donne doit plutôt être celle de f_{n-1}.

Bon, on va dire comme zigomatique que "c'est le principe qui compte"... :ptdr:

comme disait un illustre ... inconnu (je ne me rappelle plus son nom) :ptdr: qui disait en gros ...

on reconnaît les grands mathématiciens au nombre d'erreurs commises !!!

et celle-là je m'en souviens ::

"les plus grands mathématiciens ont toujours tendu à substituer les idées au calcul" LEJEUNE-DIRICHLET

et donc oui c'est l'idée, le principe qui compte ... après en apprentissage il vaut mieux éviter les erreurs tout de même ...

j'ai repris ton idée que j'ai corrigée ... j'eu préféré que ce soit un autre que moi ...

:lol3:

par **Pythales** » 08 Juil 2015, 14:21

Ben314 a écrit:Effectivement, j'ai écrit ça à la "va vite"
- Il manque l'indice 0 sous le f qu'on intègre
- Il y a une erreur d'indice et la formule que je donne doit plutôt être celle de f_{n-1}.

Bon, on va dire comme zigomatique que "c'est le principe qui compte"... :ptdr:

Bon, on est d'accord que c'est

(pour

)

Bravo en tout cas de l'avoir trouvé.

par **zygomatique** » 08 Juil 2015, 15:12

et merci de l'avoir démontré .... :ptdr: et corrigé ...

par **Pythales** » 09 Juil 2015, 17:57

Pythales a écrit:Bon, on est d'accord que c'est (pour )

Bravo en tout cas de l'avoir trouvé.

Il suffit de dériver pour vérifier.

Exercice sur les séries de fonctions

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