Exercice sur le carré du sinus hyperbolique

[SENTINEL166]

Bonjour.

Un professeur ultrafiniste(norman wildberger en ligne si quelqu'un connait)
a posé le problème suivant :
prouver, étant donné : la forme quadratique relativiste (x^2 - y^2) et non euclidienne et les points de la ligne projective (1:x) et (1:t) avec t fixé(je ne sais pas si vous utilisez les mêmes conventions que ce prof, alors le point [a : b] c'est la droite passant par l'origine et de dérivé y/x, soit la fonction
-((x-t)^2)/[( t^2 - 1 )(x^2 - 1 )]
Vous reconnaîtrez qu'il s'agit du carré du sinus hyperbolique(je suppose, je ne connais pas, il n'aborde pas les notions de trigo classique, mais ce qui sert son propre cours seulement).
On a donc une droite défini par sa tangente, on est dans le plan relativiste, et je dois prouver algébriquement, que pour tout t, cette fonction n'est jamais compris entre 0 et 1 exclu.
Mais peut être négatif ou supérieur à 1.
Quelqu'un a une piste ? J'ai essayé de poser P/Q 0 et voir les conditions sur x, en fonction de t je suppose pour avoir un sinh^2 entre 0 et 1,
mais je n'ai jamais fait ça, j'ai sûrement loupé quelque chose, et employé ces outils(dérivées et compagnie) n'est pas trop dans l'esprit du prof, alors j'ai CERTAINEMENT loupé quelque chose pour que ça paraisse si dur. Preuve géométrique interdite.

Cette fonction (polynôme de deux variables, donnant l'ouverture(carré du sinus) entre deux lignes défini par l'inverse de leur dérivée) obéit à l'identité pour [a:b] et [c:d] :
(ac-bd)^2 - (ad-bc)^2 = ( a^2 - b^2 )(c^2 - d^2 )

Je ne sais pas trop quoi en faire, j'ai suivi toute la chaine mathfoundations du prof, fais tous les exos,
mais je ne suis pas étudiant en math ... je pense que ça change quelque chose dans les habitudes,
et le fait de n'avoir pas de prof à qui demander(je peux pas le tracasser pour ça), c'est chiant.
Alors ... vous êtes là mes amis !

Merci
Mehdi