Exercice sur algebre lineaire
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 04 Juil 2015, 13:06
adamNIDO a écrit:d'abord on travaille avec la 1er
la complitude de la question $3$
pour la liberite:
On cherche tous les réels
vérifiant :
} \\<br />\alpha\times e^{3x}\cos(2x) +\beta\times e^{3x}\sin(2x)&=0_{\mathbb{R}} \quad \forall x\in\mathbb{R} \\<br />\end{align*})
en particulier
 +\beta\times e^{3x}\sin(2\pi)&=0_{\mathbb{R}} \\<br />\alpha\times e^{3\pi}) &=0_{\mathbb{R}} \\<br />\end{align*})
comme
donc
de même pour
donc la famille libre
Ta démarche me semble confuse.
Tu ne peux pas prendre un cas particulier et dire "pour tout" ; tes égalités doivent demeurer vraies quel que soit
.
On se donne deux réels
et
tels que
(si tu veux noter avec rigueur la fonction identiquement nulle provenant de
).
Il faut donc montrer que
.
Pour cela, prouve que
+\beta f_2(x)=(\alpha - i\beta) e^{i(2x)})
.
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adamNIDO
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par adamNIDO » 04 Juil 2015, 13:23
capitaine nuggets a écrit:Ta démarche me semble confuse.
Tu ne peux pas prendre un cas particulier et dire "pour tout" ; tes égalités doivent demeurer vraies quel que soit
.
On se donne deux réels
et
tels que
(si tu veux noter avec rigueur la fonction identiquement nulle provenant de
).
Il faut donc montrer que
.
Pour cela, prouve que
.
merci mais cest difficile
On cherche $\alpha$ et $\beta$ tels que $$\alpha f_1 + \beta f_2=0_F$$
+\beta f_2(x)&=0_F\\<br />\alpha\times e^{3x}\cos(2x) +\beta\times e^{3x}\sin(2x)&=0_{\mathbb{F}} \quad \forall x\in\mathbb{R} \\<br /> e^{3x}\left(\alpha\times \cos(2x) +\beta\times\sin(2x))\right)&=0_{\mathbb{F}} \quad \forall x\in\mathbb{R} \\<br />\end{align*})
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 04 Juil 2015, 13:32
Difficile, c'est pourtant du niveau TS...
Déjà, quel que soit le réel
,
donc pourquoi ne pas l'enlever ? :hum:
Ensuite, tu veux montrer que
+\beta \sin(2x)=(\alpha-i\beta ) e^{i(2x)})
, n'as-tu pas une idée de comment faire apparaître de l'exponentielle complexe avec les fonctions trigonométrique ? :we:
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adamNIDO
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par adamNIDO » 04 Juil 2015, 14:05
capitaine nuggets a écrit:Difficile, c'est pourtant du niveau TS...
Déjà, quel que soit le réel
,
donc pourquoi ne pas l'enlever ? :hum:
Ensuite, tu veux montrer que
, n'as-tu pas une idée de comment faire apparaître de l'exponentielle complexe avec les fonctions trigonométrique ? :we:
}=cos(2x)+i\sin(2x))
 e^{i(2x)}=(\alpha-i\beta ) (cos(2x)+i\sin(2x))=\alpha\cos(2x)+i\alpha\sin(2x)-i\beta\cos(2x)+\beta\sin(2x))
je suis bloque encore une fois
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par capitaine nuggets » 04 Juil 2015, 14:09
Tes calculs sont bons, mais il faut partir de
+\beta \sin(2x))
.
Rappelle-toi des formules d'Euler.
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adamNIDO
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par adamNIDO » 04 Juil 2015, 14:45
capitaine nuggets a écrit:Tes calculs sont bons, mais il faut partir de
.
Rappelle-toi des formules d'Euler.
 = \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}{2}\\<br /><br />\sin(x) = \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}{2\mathrm{i}\,})
Donc
+\beta \sin(2x)=\alpha \times \dfrac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2}+\beta \times \dfrac{e^{i2x}-e^{-i2x}}{2i}=\alpha \times \dfrac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2}+\beta \times \dfrac{-ie^{i2x}+ie^{-i2x}}{2}=\dfrac{e^{i2x}}{2}(\alpha-i\beta )+\dfrac{e^{-i2x}}{2}(\alpha+i\beta ))
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 04 Juil 2015, 15:00
adamNIDO a écrit:Donc
+\beta \sin(2x)=\alpha \times \dfrac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2}+\beta \times \dfrac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2i}=\alpha \times \dfrac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2}+\beta \times \dfrac{-ie^{i2x}-ie^{-i2x}}{2}=<br /><br />\dfrac{e^{i2x}}{2}(\alpha+\beta )+)
Attention à ta première égalité où tu as écrit deux fois la formule du cosinus.
Pourquoi laisser une égalité incomplète ? :hum:
Je me trompe peut-être mais j'ai l'impression que tu copies-colles des formules mais sans vraiment savoir où tu vas ni comprendre ce que tu fais. Encore une fois, regarde ce que tu veux obtenir :
 e^{i(2x)})
.
Ecris ta formule comme combinaison linéaire de
})
et
})
, cela fera apparaître directement le résultat :+++:
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adamNIDO
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par adamNIDO » 04 Juil 2015, 15:03
capitaine nuggets a écrit:Attention à ta première égalité où tu as écrit deux fois la formule du cosinus.
Pourquoi laisser une égalité incomplète ? :hum:
Je me trompe peut-être mais j'ai l'impression que tu copies-colles des formules mais sans vraiment savoir où tu vas ni comprendre ce que tu fais. Encore une fois, regarde ce que tu veux obtenir :
.
Ecris ta formule comme combinaison linéaire de
et
, cela fera apparaître directement le résultat :+++:
je suis fatigue un peu surtout que je ecris par latex et pas par stylo
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 04 Juil 2015, 15:14
adamNIDO a écrit:je suis fatigue un peu surtout que je ecris par latex et pas par stylo
Voilà ! :lol3:
Et que dire des nombres
e^{i2x})
et
e^{-i2x})
?
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adamNIDO
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par adamNIDO » 04 Juil 2015, 15:23
capitaine nuggets a écrit:Voilà ! :lol3:
Et que dire des nombres
et
?
+\dfrac{e^{-i2x}}{2}(\alpha+i\beta )=0_{F})
cest a dire que
e^{i2x}=0_{F})
et
e^{-i2x}=0_{F})
ou encore
=0_{F})
et
=0_{F})
Donc
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 04 Juil 2015, 15:32
adamNIDO a écrit:cest a dire que
et
ou encore
et
Donc
Non non, là tu dis n'importe quoi.
Quelle relation relie les complexes
et
?
Quelle relation relie les complexes
et
?
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adamNIDO
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par adamNIDO » 04 Juil 2015, 15:34
capitaine nuggets a écrit:Non non, là tu dis n'importe quoi.
Quelle relation relie les complexes
et
?
Quelle relation relie les complexes
et
?
vraiement aucune idee
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 04 Juil 2015, 15:49
Je te conseille vraiment de revoir tes cours de TS sur les nombres complexes, notamment les principales propriétés.
Ces nombres sont liés par la "conjugaison" :
[CENTER]
 e^{-i(2x)} = \overline{(\alpha-i\beta) e^{i(2x)}})
.[/CENTER]
Et si
est complexe, que peux-t-on dire de la somme
?
Tu pourras alors conclure :we:
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adamNIDO
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par adamNIDO » 04 Juil 2015, 16:08
capitaine nuggets a écrit:Je te conseille vraiment de revoir tes cours de TS sur les nombres complexes, notamment les principales propriétés.
Ces nombres sont liés par la "conjugaison" :
[CENTER]
.[/CENTER]
Et si
est complexe, que peux-t-on dire de la somme
?
Tu pourras alors conclure :we:
cest pas ca je suis fatigue et je veux finir cet exercice sinon je vais abondonner
=2a)
+\dfrac{e^{-i2x}}{2}(\alpha+i\beta )=2Re(e^{i2x}(\alpha-i\beta))=0_{F})
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 04 Juil 2015, 16:14
adamNIDO a écrit:cest pas ca je suis fatigue et je veux finir cet exercice sinon je vais abondonner
Rien ne t'empêche de remettre ça à demain :+++:
Si
e^{i(2x)})
alors on obtient
e^{i(2x)})=0)
(n'oublie pas le 1/2).
Il ne te reste plus qu'à calculer une partie réel d'un nombre complexe, ça ne devrait plus trop te poser de problème, surtout qu'on sait ce qu'on veut obtenir. Je te laisse conclure :++:
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adamNIDO
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par adamNIDO » 04 Juil 2015, 16:28
capitaine nuggets a écrit:Rien ne t'empêche de remettre ça à demain :+++:
Si
alors on obtient
(n'oublie pas le 1/2).
Il ne te reste plus qu'à calculer une partie réel d'un nombre complexe, ça ne devrait plus trop te poser de problème, surtout qu'on sait ce qu'on veut obtenir. Je te laisse conclure :++:
e^{i(2x)})=0\\)
comme
e^{i(2x)})=((\alpha-i\beta)(\cos(2x)+i\sin(2x) ))\\<br />=((\alpha\times\cos(2x)+i\alpha\sin(2x)-i\beta\times\cos(2x)+\beta\sin(2x) ))\\<br />=\alpha\times\cos(2x)+\beta\sin(2x))
donc
e^{i(2x)})=\alpha\times\cos(2x)+\beta\sin(2x)=0)
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par capitaine nuggets » 04 Juil 2015, 16:51
Oulah ! Moi non plus je suis fatigué dis donc : laisse tomber ce que j'ai dit, on tourne en rond.
On a
deux réels tels que pour tout réel
,
+\beta \sin(2x)=0)
.
Si cette égalité est vraie pour tout réel
, elle est vraie pour
et pour
.
Il s'agit donc de résoudre le système de deux équations à deux inconnues
obtenu lorsque
et
. Là ça va mieux !
(au moins on aura revu les nombres complexes, ça fait pas de mal).
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adamNIDO
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par adamNIDO » 04 Juil 2015, 17:11
capitaine nuggets a écrit:Oulah ! Moi non plus je suis fatigué dis donc : laisse tomber ce que j'ai dit, on tourne en rond.
On a
deux réels tels que pour tout réel
,
.
Si cette égalité est vraie pour tout réel
, elle est vraie pour
et pour
.
Il s'agit donc de résoudre le système de deux équations à deux inconnues
obtenu lorsque
et
. Là ça va mieux !
(au moins on aura revu les nombres complexes, ça fait pas de mal).
merci beaucoup pour vos efforts mais j'ai abandonne la question 3
pour la question 4
soit
alors
=(a\cos(2x)+b\sin(2x)))
donc
=e^{3x}((3a+2b)cos(2x)+(3b-2a)\sin(2x)))
donc
par suite
\in F)
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