Exercice suites

[Abilys38]

Bonjour,

Soit (Un) une suite de réels positifs vérifiant Un ≤ (1/k) + (k/n) pour tous (k,n)∈N*. Démontrer que (Un) tend vers 0.

Pourriez vous m'orienter sur une piste?

J'ai du mal à comprendre car je sais que lim k/n = 0 si n tend vers +D, mais le problème c'est k. Si je pose k =1,
la lim en +D est 1... Bref ça me perd!

Merci d'avance

[bolza]

Bonjour,

-Pour 1k tu veux dire k ?
-(k,n)∈N , tu veux dire NxN* ? ou N*xN* ?

sinon attention, si tu pose k=1 c'est k+k/n qui tend vers 1, pas Un !!
Si l'hypothèse est vrai pour TOUT k∈N alors c'est vrai en particulier pour...
une autre valeur de k peut-être plus intéressante que 1 ?

mais bon l'énoncé reste bien étrange, ce ne serait pas plutôt Un <= k+(k+1)/n ?
Peux-tu dire plus clairement quelles sont les hypothèses ?

Ah! sauf si le 1k est en fait un 1/k et alors là l'énoncé devient beaucoup plus intéressant ^^

[Abilys38]

Pardon,

j'ai fais un copier collé et ça a fait quelques fautes. Voilà la photo de l'énoncé pour faciliter la compréhension.

[bolza]

Je supprime ce message qui faisait suite à une erreur de manipulation ^^

EDIT; Ah j'avais pas la bonne image ^^

[anthony_unac]

Bonjour,
Ne s'agirait il pas d'une suite dominée par une autre suite ?

[bolza]

Bon alors pour le problème qui nous intéresse :

si tu arrives à prouver que 1/k + k/n peut être plus petit que n'importe quel réels strictement positif c'est gagné non ?

[zygomatique]

salut

si pour tout alors c'est aussi vrai pour tout où f est est une fonction bien choisie

l'énoncé sur la photo est mal écrit : que signifie ?

...

[samoufar]

Bonsoir,

l'énoncé sur la photo est mal écrit : que signifie ?

C'est certainement .

salut

si pour tout alors c'est aussi vrai pour tout où f est est une fonction bien choisie

Le problème est que comme , devra être à valeurs entières (sinon ça aurait été super de prendre du par exemple).


Par contre on peut utiliser la caractérisation "epsilonesque" de la limite d'une suite :
On fixe , on prend tel que , ensuite on prend tel que , (on peut s'amuser à exprimer ). Alors pour tout puisque la suite est décroissante pour fixé.


Peut-être existe-t-il des solutions plus élégantes, mais moi, je n'en vois pas

[zygomatique]

et si on prend ?

[samoufar]

Pas faux, ça marche et c'est beaucoup moins barbare qu'avec les epsilon

[Abilys38]

Ma question concernant vos propositons: L'énoncé dit bien "pour tout k qui appartient à N". A partir de là, a t-on le droit de donner une réponse en fixant un k ?

Par exemple, je comprend pas comment on peut prétendre que 1/k est inférieur à epsilone puisque par exemple, si k=1, 1 n'est pas inférieur à epsilone pour epsilone > 0.

C'est ça qui me pose problème dans cet exercice...

[lionel52]

Le but de l'énoncé c'est : démontrer que Un tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Un ne dépend pas de k donc tu peux mettre le k qui t'arrange dans ton inégalité

[Monsieur23]

Ma question concernant vos propositons: L'énoncé dit bien "pour tout k qui appartient à N". A partir de là, a t-on le droit de donner une réponse en fixant un k ?

Par exemple, je comprend pas comment on peut prétendre que 1/k est inférieur à epsilone puisque par exemple, si k=1, 1 n'est pas inférieur à epsilone pour epsilone > 0.

C'est ça qui me pose problème dans cet exercice...

Aloha,

Je crois que dans ce genre d'exercices, il faut absolument revenir à la définition de limite

[Abilys38]

Je débute le chapitre sur les suites, mais les notions de voisinage et de limite sont assez bien ancrées dans mon esprit (je crois ). C'est vraiment le k qui me posait problème.

Si je peux fixer k, l'exercice prend une tournure différente dans mon esprit, mais je ne comprend toujours pas pourquoi dans l'énoncé, ils stipulent: "Pour tout (k,n) " si k peut être fixé...

Autre question: montrer que Un est inférieur à 2* epsilon est suffisant?
Dans toutes les démonstrations, je dois faire en sorte que la réponse finale soit Un < 1* epsilon

[samoufar]

Bonjour,

Si je peux fixer k, l'exercice prend une tournure différente dans mon esprit, mais je ne comprend toujours pas pourquoi dans l'énoncé, ils stipulent: "Pour tout (k,n) " si k peut être fixé...

Justement, c'est le fait que tu peux faire varier comme tu veux dans qui te permet de prendre aussi petit que possible. Si tu raisonnes avec les epsilon, c'est epsilon qui est fixé. Ensuite va dépendre de . Si tu suis le raisonnement de zygomatique, prendre la suite des est possible car on peut prendre comme on veut.

Autre question: montrer que Un est inférieur à 2* epsilon est suffisant?
Dans toutes les démonstrations, je dois faire en sorte que la réponse finale soit Un < 1* epsilon

, ou , ou même , ça ne change rien (tant que le dans est indépendant de ).

Pour satisfaire ceux qui pinailleraient sur des détails futiles, tu peux prendre des au départ et tu auras ton à la fin (mais bon c'est un détail qui n'a pas d'importance).

[Abilys38]

Ok merci pour ces informations

Car justement, dans les démonstrations du cours (notamment du style: démontrer que le produit de deux suites qui divergent vers + infini), ils font toujours en sorte de retomber sur < 1* epsilon, donc je pensais que c'était vraiment important...

Pour le moment, je n'ai vu dans mes cours que la notion de voisinage et le lien avec les limites, donc je me satisferai de la réponse de Samoufar puisqu'elle est en lien avec ce que je fais actuellement
Je vais commencer la partie sur les suites récurrente cette semaine, qui est (je crois?) plus en lien avec la réponse de Zygomatique.

[samoufar]

Heureux d'avoir pu t'aider

Néanmoins, un petit conseil : si tu trouves autre chose que les epsilon, c'est toujours mieux. Souviens-toi que plus on se rapproche des fondements des mathématiques (axiome du choix et epsiloneries à titre d'exemple), plus le sol se dérobe sous nos pieds

Évites les epsilon dans la mesure du possible. C'est très formel, certes, mais aussi très barbare comme approche C'est pourquoi je trouve la solution apportée par zygomatique plus élégante.

Et les 1*epsilon, c'est juste pour le style, même si personnellement je désapprouve ça (ça retire le côté naturel des preuves et des maths plus généralement). Comme dit mon professeur de maths : Les maths, c'est fait pour expliquer, pas pour intimider.

[Abilys38]

Ok merci pour les infos !!

[Razes]

Ceci doit être valable , nous ne sommes pas obligé de le fixer à une valeur

Étudier: , d'où:

est minimale pour , d'où : , donc:

Pour qu'on ait la condition , il faut que : de plus


En passant à la limite tendra vers

[Abilys38]

Solution trés claire !!!!!
Merci!