Exercice ppcm et pgcd

par **MC91** » 30 Juil 2012, 09:46

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide sur cet exercice :

a et b sont de éléments de N, différents de 0. a est inférieur ou égal à b.
a² + b² = 5409
ppcm (a,b) = 360.

Determiner d=pgcd (a,b).

Voici ce que j'ai fait :

d | a et d | b
Donc d² | a² et d² | b²

D'ou d² | a² + b², c'est à dire d² | 5409

Et la décomposition primaire de 5409 s'écrit 601.3².

On arrive donc à d² | 601.3², soit 601.3²= k.d², avec k dans N privé de 0.
C'est ici que je suis bloquée.... Peut on dire que d=3? J'en suis pas trop convaincue....

Merci d'avance pour votre aide,
Bonne journée.

par **vincentroumezy** » 30 Juil 2012, 10:26

Bonjour. Utilises ta deuxième relation, et la formule reliant ppcm et pgcd.

par **chan79** » 30 Juil 2012, 10:27

MC91 a écrit:Bonjour,

J'aurai besoin d'aide sur cet exercice :

a et b sont de éléments de N, différents de 0. a est inférieur ou égal à b.
a² + b² = 5409
ppcm (a,b) = 360.

Determiner d=pgcd (a,b).

Voici ce que j'ai fait :

d | a et d | b
Donc d² | a² et d² | b²

D'ou d² | a² + b², c'est à dire d² | 5409

Et la décomposition primaire de 5409 s'écrit 601.3².

On arrive donc à d² | 601.3², soit 601.3²= k.d², avec k dans N privé de 0.
C'est ici que je suis bloquée.... Peut on dire que d=3? J'en suis pas trop convaincue....

Merci d'avance pour votre aide,
Bonne journée.

Salut
d|a donc d|a²
d|b donc d|b²
d|(a²+b²)
d|5409
Envisage les différentes possibilités; elles ne sont pas nombreuses

par **MC91** » 30 Juil 2012, 10:42

chan79, on obtient donc a²+b²=kd, donc 601.3²=kd, mais je ne vois toujours pas comment trouver d...

Vincentroumezy, j'ai déja essayé d'utiliser la relation md=ab, avec m le ppcm et d le pgcd, mais j'ai rapidement abandonné car on obtient 360.d=ab, et on ne connait ni a ni b... En fait, la question d'après que je n'ai pas précisé ici demande de determiner a et b.

par **chan79** » 30 Juil 2012, 11:15

MC91 a écrit:chan79, on obtient donc a²+b²=kd, donc 601.3²=kd, mais je ne vois toujours pas comment trouver d...

Les diviseurs de 5409 sont 1, 3, 9, 601, 1803 et 5409
Comme le PPCD de a et b est 360, le PGCD, qui lui est inférieur, est égal à 1, 3, ou 9
Supposons que le PGCD soit 1
On aurait ab=360*1=360
(a+b)²=a²+b²+2ab donne (a+b)²=5409+720=6129 qui n'est pas un carré d'entier.
Supposons que le PGCD soit 3
ab=360*3=1080
(a+b)²=5409+1080*2=7569=87²
Il faut voir si on peut trouver deux entiers a et b sachant que a+b=87 et ab=1080
On résout X²-SX+P=0
on trouve a=15 et b=72
Donc le PGCD est 3
Il faut voir ensuite si le PGCD peut être 9

par **MC91** » 30 Juil 2012, 11:23

chan79 a écrit:Les divisieurs de 5409 sont 1, 3, 9, 601, 1803 et 5409
Comme le PPCD de a et b est 360, le PGCD, qui lui est inférieur, est égal à 1, 3, ou 9
Supposons que le PGCD soit 1
On aurait ab=360*1=360
(a+b)²=a²+b²+2ab donne (a+b)²=5409+720=6129 qui n'est pas un carré d'entier.
Supposons que le PGCD soit 3
ab=360*3=1080
(a+b)²=5409+1080*2=7569=87²
Il faut voir si on peut trouver deux entiers a et b sachant que a+b=87 et ab=1080
On résout X²-SX+P=0
on trouve a=15 et b=72
Donc le PGCD est 3
Il faut voir ensuite si le PGCD peut être 9

Ah ok, merci beaucoup !

Autre question : comment sait on qu'il n'y a pas d'autres diviseurs que 1, 3, 9, 601, 1803 et 5409?

par **chan79** » 30 Juil 2012, 11:59

MC91 a écrit:Ah ok, merci beaucoup !

Autre question : comment sait on qu'il n'y a pas d'autres diviseurs que 1, 3, 9, 601, 1803 et 5409?

5409=3²*601 avec 601 premier
les divisieurs de 5409 sont de la forme

variant de 0 à 2

variant de 0 à 1

par **MC91** » 30 Juil 2012, 13:52

chan79 a écrit:5409=3²*601 avec 601 premier
les divisieurs de 5409 sont de la forme
variant de 0 à 2
variant de 0 à 1

Ok merci beaucoup !!
Bonne journée !

Exercice ppcm et pgcd

exercice ppcm et pgcd

Qui est en ligne