Exercice espace métrique

[Ncdk]

Bonjour,

Soit (X, d) un espace métrique

1. Soit : R+ R+ une fonction croissante telle que pour tous x, y R+, (x) = 0 ;) x = 0,
et (x + y) (x) + (y). Pour x, y X, on pose (x, y) = (d(x, y)). Montrer que est une
distance sur X.

2. Application à : (x) = inf(1,x) ; (x) = ln(1+x) ; (x) = x/(1+x)

Du coup je suis bloqué à la 1) mais concernant l'inégalité triangulaire, j'arrive pas à prouver, j'en suis a :

(d(x,z) + d(z,y)) (d(x,z)) + (d(z,y)) = (x,z) + (z,y)

Mais j'arrive pas à aller plus loin.

[mathelot]

à la 1) mais concernant l'inégalité triangulaire, j'arrive pas à prouver, j'en suis a :

(d(x,z) + d(z,y)) (x,z) + (z,y)

Mais j'arrive pas à aller plus loin.

d est une distance et est croissante

[Ncdk]

d est une distance et est croissante

Je sais mais je vois pas comment coupler les deux pour avancer

[mathelot]

l'inégalité triangulaire vérifiée par ,



on en considère les images par croissante.

[Ncdk]

Ah oui ! Merci bien, je vois directement comment conclure :)