Exercice d'arithmétique

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,


J'essaye de résoudre cet exo, mais j'avoue que je bloque. J'ai beau chercher, je trouve rien.


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Trouver les entiers tels que 7 divise

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J'ai essayé de faire un peu par tâtonnement.
Pour n=5 , et j'ai donc pensé que ce serait peut-être les entiers divisible par 5, mais ce n'est pas le cas, car n=15 ne vérifie pas la ce qui est demandé. Puis j'ai essayé de voir les entiers qui s'écrivent mais encore, le cas n=20 ne vérifie pas (sauf si je me suis trompé dans mes calculs de congruence)

Du coup, je ne vois pas comment faire.
Si quelqu'un peut me donner une indication svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[mathelot]

bonjour,

soit la propriété



qu'est ce que ça évoque ?

[jonses]

7 est premier
Petit théorème de Fermat
formule du binôme
congruence modulo 7

Tout ça j'y ai pensé, sans vraiment aboutir.

Sinon pour (n-7+7)^n=n^n j'essaye de voir si ça mène quelque part. Pour l'instant, j'ai pas grand-chose, je pensais développer à l'aide du binôme, mais bon, passer à la congruence modulo 7 me dit juste que n^n est congru à (n-7)^n ou encore à (n+7)^n modulo 7

Sinon, j'avais pensé à la division euclidienne par 7, pour me ramener à l'étude du reste en passant à la congruence, mais ça devenait inextricable.

[Doraki]

Le petit théorème de Fermat trivialise l'exo.

la valeur de x^y modulo 7 dépend de la valeur de x modulo quoi et de y modulo quoi ?

[mathelot]

le petit théorème de Fermat donne le modulo sur y également , dans ?

[jonses]

"Le petit théorème de Fermat trivialise l'exo."

C'est un petit fort je trouve, parce que j'essaye d'utiliser le petit théorème de Fermat, mais j'aboutis pas.

Pour : la valeur de x^y modulo 7 dépend de la valeur de x modulo quoi et de y modulo quoi ?

ça m'a l'air encore plus compliqué que la question de départ, mais j'imagine bien que si je réussis cette question, alors la question de départ sera résolue.
Problème : comment résoudre ce problème que tu viens de poser Doraki (utiliser petit théorème de Fermat puis faire par tâtonnement ? Perso c'est ce que j'essaye de faire sans aucun résultat excepté pour les cas faciles, x=0, x=1, (y=multiple de 6 et x non divisible par 7) )

[jlb]

n=a + 42b

n^n=n^(a+42b)=n^a *n^42b

si 7|n^(7b) alors n=0[7]

sinon n^(42b)=(n^(7b))^6 est congru à 1 modulo 7

Au final, il reste à étudier n^a modulo 7

c'est à dire à étudier a^a modulo[7]

et du coup, les solutions doivent être cherché parmi les classes modulo 42 ( il y a 5 c'est sur, mais j'ai pas eu le temps de vérifier au-delà de 14)

( c'est à vérifier!!! je n'ai pas le temps d'écrire un prg pour vérifier sur les 100 premières valeurs de n, mais c'est ce que j'aurai tenté en premier pour avoir une idée des solutions et "leur tête")

[Doraki]

si n = 0 mod 7 alors n^n vaut 1 ou 0 et donc ne vaut jamais 3 modulo 7

Si n n'est pas multiple de 7 alors par le petit théorème de fermat, n^6 = 1 mod 7 donc n^m dépend de la valeur de n mod 7 et de m mod 6.

Si n = 1 mod 7, les puissances de n valent toutes 1, et ne valent jamais 3
Si n = 2 mod 7, les puissances de n sont 1 2 4 1 ... et ne valent jamais 3
Si n = 3 mod 7, les puissances de n sont 1 3 2 6 4 5 1 ... et donc n^m = 3 <=> m =1 mod 6, donc on obtient par le théorème des restes chinois, la condition n = 31 mod 42
Si n = 4 mod 7, les puissances de n sont 1 4 2 1 ... et ne valent jamais 3
Si n = 5 mod 7, les puissances de n sont 1 5 4 6 2 3 1 ... et on obtient la condition n = 5 mod 42
Si n = 6 mod 7, les puissances de n sont 1 6 1 ... et ne valent jamais 3

Donc n^n-3 est multiple de 7 lorsque n = 31 ou 5 modulo 42

[zygomatique]

Bonjour ou bonsoir,


J'essaye de résoudre cet exo, mais j'avoue que je bloque. J'ai beau chercher, je trouve rien.


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Trouver les entiers tels que 7 divise

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J'ai essayé de faire un peu par tâtonnement.
Pour n=5 , et j'ai donc pensé que ce serait peut-être les entiers divisible par 5, mais ce n'est pas le cas, car n=15 ne vérifie pas la ce qui est demandé. Puis j'ai essayé de voir les entiers qui s'écrivent mais encore, le cas n=20 ne vérifie pas (sauf si je me suis trompé dans mes calculs de congruence)

Du coup, je ne vois pas comment faire.
Si quelqu'un peut me donner une indication svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

le binome de Newton prouve que à même reste que dans la division par 7 ...