Exercice d'arithmétique

[Tomy]

Bonsoir, voilà un petit exo d'arithmétique pas facile je trouve:
"Trouver tous les entiers naturels non nuls tels que n² divise (2^n + 1)"

après quelques essais, il semble que ça marche pour n=1 et n=3. De plus, on doit avoir n impair (bon je sais ça nous avance pas des masses :we: ), voila donc si vous avez quelques idées pour résoudre cet exo ou même pour réduire les conditions que l'on doit avoir, je serais ravi de les lire :happy2:

Bonne soirée

[hans]

Si a|b, a<=b.

[redwolf]

Bonjour.
J'ai bien l'impression que 1 et 3 sont seuls dans cette catégorie, mais j'arrive juste à prouver ceci :
Le plus petit facteur premier de doit être 3 :

En effet, si on appelle ce facteur premier, et si , on a .
L'ordre de 2 mod divise donc à la fois et et il doit donc diviser leur pgcd.
n'est divisible par aucun des nombres premiers qui divisent n. Le pgcd de et est donc 2.

Pour conclure : le seul nombre premier pour lequel l'ordre de 2 divise 2, c'est 3.

[redwolf]

ReBonjour.

A moins que je ne passe à côté d'une évidence, l'exercice n'est vraiment pas facile.

J'ai montré que était (presque) sans facteur carré :
les nombres premiers tels que où est l'ordre de 2 modulo , sont extrêmement rares. On n'en connaît que deux : 1093 et 3511 mais personne ne sait démontrer qu'il n'y en a pas d'autre.
(sur ce sujet, voir http://mathworld.wolfram.com/WieferichPrime.html).

En revanche, pour tous les autres, on montre que l'ordre de 2 modulo est . Je te laisse ceci en exercice.
A partir de là, si avec , . Donc et . L'ordre de 2 modulo divise donc , c'est-à-dire que divise . D'où et .

Un argument similaire à celui de mon précédent message montre que le deuxième plus petit nombre premier qui divise doit être 7 et le suivant est supérieur à 43 (en fait, c'est forcément 43, 127, 337 ou 5419).

Voilà... donc pour l'instant, est sans facteur carré (sauf peut-être pour 1093, 3511, et éventuellement quelques autres) et divisible par 21 (si ).

[redwolf]

Ca y est ! Et sans se casser autant la tête :

Dès qu'on a montré que le deuxième facteur premier doit être 7, c'est fini, parce qu'aucune puissance de 2 n'est congrue à -1 modulo 7.

[babulle]

il y a peut-être une autre preuve. mais je suis un peu rouillée, et je ne suis pas certaine de mon raisonnement.
divise
donc il existe un entier k tel que
donc
et
on prouve par un raisonnement par l'absurde que est un entier (sinon, il vient de (1) que n n'est pas entier non plus)
donc il existe p et q tels que divise
et divise
en notant
on a divise et divise
donc et n est un entier tel qu'il existe k tel que donc n=1 ou n=3

[redwolf]

Bonjour Babulle.

Peux-tu préciser ton raisonnement par l'absurde qui prouve que est un entier ? Je ne vois vraiment pas.

Merci

[babulle]

bon, alors, de mémoire, vu que j'ai laissé mes notes sur mon bureau:

supposons que n'est pas entier.
on se souvient de la preuve que est irrationnel, le résultat est facilement généralisable et connu: si la racine d'un entier n'est pas entiere, elle n'est pas rationnelle non plus.
donc est irrationnel.

selon (1), on a
donc
et
d'où
Or est est un entier, donc n s'écrit sous la forme avec et rationnels.
Donc n est irrationnel, ce qui est contradictoire.

[redwolf]

Bonsoir.

Le problème dans la preuve précédente, c'est que le nombre dont le numérateur est égal à - est nul par hypothèse ! Le terme en disparait, et on ne peut rien en déduire sur .

De toute façons, ce raisonnement n'utilisait pas la forme particulière de l'entier . S'il était valable, on aurait donc démontré :

Si est un entier... alors est un carré ! Ce qui est évidemment faux.

[babulle]

c'est juste, je n'avais pas fait attention. comme je l'ai dit précédemment, je suis un peu rouillée