Un exercice d'arithmétique (ENS)

[Charmander]

Bonsoir,

Montrer que

.....

.......

Voilà, c'est un exercice posé aux oraux d'ENS. Avez-vous une idée de comment s'y prendre ? En évitant de partir dans des choses trop compliquées. Merci

[mrif]

Une idée est d'écrire , d'appliquer la formule du binome, ensuite d'écrire le min sous la forme et discuter selon les valeurs de p et A.

[Ben314]

Il me semble avoir déjà vu ce type d'exo. (bien pourris...) et j'opterais plutôt pour des calculs de congruences modulo... des entiers astucieusement choisis...

[Ben314]

pour
pour
La plus petite différence possible est 36-25=11.

[chan79]

Une suggestion mais j'ai des doutes, ça paraît trop simple ...


Voyons s'il est possible que avec
si k était pair, 5 le serait aussi
De même, k ne peut être ni multiple de 3, ni multiple de 5.
Il reste et

et se terminent par 6 et 5 donc le chiffre des unités de est 1 ou 9. Il est impossible que:

Il reste

Premier cas

modulo 4, on aurait -1=1 impossible

Second cas

modulo 5, on aurait -1=1 impossible

[Ben314]

Sauf erreur, ça marche parfaitement et, si on suit ton raisonnement, tu utilise des congruence modulo 2,3,5 au début puis 4 et 5 à la fin donc on peut tout "synthétiser" via les congruences modulo 3x4x5=60 :
si
si
C'est plus court comme ça (mais peut être moins compréhensible qu'avec plusieurs "petites" congruences)

Perso, j'était parti sur des congruence modulo 300=3x4x5x5 pour utiliser le fait que 5^m=25 [100] mais ça n'est pas utile et ça augmente le nombre de cas pour le 6^k.

[zygomatique]

salut

juste pour le plaisir ... de l'efficacité ... en espérant que ce soit correct ... :ptdr:

je commencerais par une congruence modulo 5::

conduit à 11 et tout le problème est de savoir s'il y a moins ou pas ....

or donc les seules possibilités sont -11, -9, -6, -4, -1, 1 et 6 (et 11) (inférieurs à 11 en valeur absolue)

évidemment on élimine -11 (et 11) (déjà obtenu) et tout comme chan79 un argument de parité élimine les pairs ...

puis je finirais comme chan79 en testant les derniers cas avec la bonne congruence ...

[Ben314]

Il est sensé vouloir dire quoi ton "... conduit à 11" ?

[zygomatique]

Il est sensé vouloir dire quoi ton "... conduit à 11" ?

donne une différence "petite" et surtout évidente simplement ... avec 2m =n = 2 ...

et qu'il reste à voir qu'il n'y a pas plus petit ....

[Ben314]

Je suis... toujours pas convaincu...
Pour moi, celui "qui possède un peu de calcul mental", je pense qu'il trouve (au moins...) aussi facilement que 11 est une solution en partant que de ...

[zygomatique]

Disons que je comprend pas bien en quoi le fait que t'aide à trouver que 36-25=11 est une solution, mais bon...

que cette écriture permet à celui qui possède un peu de calcul mental de voir tout de suite que pour m = 1 et n = 2 on obtient 11 .... qui est un entier très petit et majore le minimum qui et donc à chercher parmi 0, 1, 2, ..., 10 et 11 ...

[Ben314]

Je suis... toujours pas convaincu...
Pour moi, celui "qui possède un peu de calcul mental", je pense qu'il trouve (au moins...) aussi facilement que 11 est une solution en partant que de ...

[zygomatique]

ce n'est pas tant la recherche et la découverte du 11 qui importe dans cette écriture (je suis bien d'accord avec toi) mais plutôt que la congruence modulo 5 permet rapidement d'éliminer de nombreux cas (comme l'a fait chan79) ... mais en plus efficace .... ce me semble-t-il ....

(en particulier il n'est même plus utile de faire mention de 7) ...

ensuite les conditions de parité élimine de nouveau bon nombre de cas ...

et pour finir on teste les derniers cas comme chan79

(c'est juste un exercice (la question que je me suis posée) d'efficacité qui m'a fait intervenir dans ce post .... car tout avait été dit auparavant bien sur)

:lol3:

[Ben314]

Si c'est pour utiliser de la congruence modulo 5, il me semble que serait plus pertinent que
M'enfin bon, de toute façon c'est systématiquement le même principe : des congruence modulo des entiers "bien choisi" (voire un seul en prenant le ppcm des entiers utilisé comme congruence dans la preuve)
Après, on rédige comme on veut...

Perso, je préfère une unique (grosse) congruence : ça donne l'impression que le résultat "tombe du ciel" (mais c'est pas top pédagogique...)