Etude d'une convergence d'une suite

[Maxdu21Eiffel]

Bonjour, j'ai un exercice de maths assez banale :

u0 appartient a ]1,2[ et pour tout n appartenant à N , un+1=racine(3un-2)
Etudier la convergence de la suite (un).

Le problème est que j'ai toujours étudier des convergences avec u0 fixé, je ne sais donc pas comment m' y prendre pour commencer.
J'aimerais utiliser le principe de récurrence pour encadré un, puis de chercher si il y a ne relation entre un et un+1. Trouver une suite géométrique et étudier cette dernière.

Je ne sais pas si c'est le bon chemin à prendre mais mon premier problème est de débuté avec un u0 qui est un intervalle..

Merci pour votre aide

[Joker62]

Hello,

As-tu tracé la courbe y = sqrt(3x-2) ?

As-tu tracé les droites x = 1 et x = 2 ?

u0 -- contrairement à ce que tu penses -- est fixé. Il est fixé entre 1 et 2...

Essaies d'en prendre un au hasard et de tracer quelques termes avec la méthode de l'escalier.


(Cette image ne représente pas ta situation. C'est un exemple)

[deltab]

Bonjour

J'aimerais utiliser le principe de récurrence pour encadré un, puis de chercher si il y a ne relation entre un et un+1. Trouver une suite géométrique et étudier cette dernière.
Je ne sais pas si c'est le bon chemin à prendre mais mon premier problème est de débuté avec un u0 qui est un intervalle..

La relation tu l'as déjà, elle t'est donnée, .
est dans un intervalle et non est un intervalle.
Dans ce type d'exercice , on essaie de montrer que la suite est monotone bornée en utilisant les propriétés de la fonction f et ceci fait on détermine sa limite.
u_0 est donné soit sous forme de valeur numérique soit sous forme d'un paramètre (c'est le cas ici)
Si tu es perdu avec le paramètre, tu peut prendre pour voir et revenir ensuite au cas

[soradia1]

D'abord j'ai pensé à étudier la monotonie de la suite .
Comme c'est une suite à termes positifs, comparer revient à comparer leurs carrés. On se retrouve avec une équation du second degré dont les racines sont 1 et 2. En ètudiant le signes, on établit facilement que si Un est dans ]1,2[ alors Un+1>Un et on peut démontrer par récurrence que quel que soit n.
En somme, est une suite bornée et croissante, donc elle converge. Vers quoi?? ça je l'ignore!

[Joker62]

Vers un certain nombre qui vérifie

[soradia1]

Donc la suite converge vers 2.

[Ericovitchi]

Si tu avais suivi les conseils et vraiment fait le dessin, tu ne poserais pas la question :


(parce que ça aurait pu aussi être 1 qui est également solution de l'équation)

[Maxdu21Eiffel]

Merci a tous pour vous réponse et je suis désolé je n'est pas pu me connecté avant.
Je vais essayé de faire l'exercice avec tout vos conseils.

Merci encore!

[Maxdu21Eiffel]

Soradia, je ne comprend pas comment vous obtenez une équation du second degré avec Un+1 et Un... :hum:

Merci de m'éclairer si possible

[Ericovitchi]

c'est du second degré, non ?

[deltab]

Bonsoir.

D'abord j'ai pensé à étudier la monotonie de la suite .
Comme c'est une suite à termes positifs, comparer !

Des fois, il est plus simple pour étudier la monotonie de (U_n) d'étudier le signe de sur un un intervalle borné I contenant (il est ici donné). De plus, si à partir du tableau de variation , on montre que si , la suite sera bien bornée.
On utilise cette méthode si on a des difficultés pour la comparaison directe de et .
PS:
Cette méthode est traité en général dans le cours sur les suites numériques.

[soradia1]

Bonsoir.


Des fois, il est plus simple pour étudier la monotonie de (U_n) d'étudier le signe de sur un un intervalle borné I contenant (il est ici donné). De plus, si à partir du tableau de variation , on montre que si , la suite sera bien bornée.
On utilise cette méthode si on a des difficultés pour la comparaison directe de et .
PS:
Cette méthode est traité en général dans le cours sur les suites numériques.

Merci beaucoup!

[deltab]

Bonjour

Merci beaucoup!

soit montrer directement que