Etude de f(x)=x² Arctan (1/x)

par **Maths-ForumR** » 22 Fév 2015, 18:23

Bonjour,
Voici mon exercice :

Soit f la fonction définie par f(x)=x² Arctan (1/x) et f(0)=0

Question préliminaire : En linterprétant comme limite de taux daccroissement prouver que lim Arctan(u)/u = 1 en 0.

1)a. Étudier la parité de f et montrer que f est continue sur R
1)b. Déterminer les limite de f en +/- 00
1)c. Montrer, à laide du théorème des accroissements finis, que t/1+t² 1 il existe un unique réel positif an trl que f(an)=1/n
3)b. Utiliser f^(-1) pour prouver que la suite (an)n>1 converge vers 0
3)c. Calculer la limite de la suite

(n.an)

..........................................................................................................................................

J'ai besoin d'aide pour la question 1)e. et 3)c.

par **Sa Majesté** » 22 Fév 2015, 22:29

Maths-ForumR a écrit:1)a. La fonction est impaire et continue sur R (produit de deux fonction continue sur R)

La fonction Arctan(1/x) est continue sur R ? Elle n'est pas définie en 0.
Il faut montrer la continuité de f sur R*-, sur R*+ et en 0.

Maths-ForumR a écrit:1)b. Intuitivement je pense que la limite en +00 est +00 donc par imparité en -00 la limite vaut -00 mais je n'arrive pas a modifier lécriture pour enlever la FI.

Utilise la question préliminaire.

Maths-ForumR a écrit:1)d. f'(x) = 2x.Arctan(1/x) - 1/(1+(1/x²)) tout les quantité sont positive mais comment montrer que 2x.Arctan(1/x) > 1/(1+(1/x²)) ?

Utilise le 1)c.

Maths-ForumR a écrit:1)e. f est continue sur R et f(0)=0 donc f est dérivable en 0

La fonction g qui vaut -racine(-x) sur R- et racine(x) sur R+ est continue sur R et g(0)=0 mais elle n'est pas dérivable en 0. Il faut revenir à la définition de la dérivabilité.

par **Maths-ForumR** » 22 Fév 2015, 22:49

Pour la 1.a l'énoncé donne f(0)=0 donc la fonction est continue par prolongement non ?

Pour la 1.b jarrive a retrouver le résultat mais en utilisant lim Arctan(u)/u =1 et non
lim -Arctan(u)/u =1 c'est normale ?

Pour la 1.d merci pour l'indication ! :)

Pour la 1.e il faut calculer la limite en 0+ et 0- et voir si elles sont égales ?

par **Robic** » 22 Fév 2015, 22:57

Pour le 2.b, il me semble que la réciproque de f est dérivable dès lors que la fonction f est dérivable et que f' ne s'annule pas (c'est normal : si f' s'annule, la courbe de f a une tangente horizontale, donc celle de sa réciproque aura une tangente verticale). Tu n'as pas un théorème qui ressemble à ça ?

par **Maths-ForumR** » 23 Fév 2015, 18:58

J'ai réussi a avancer mais il me reste la 1)e. et 3)c. pouvez vous m'aider

par **Sa Majesté** » 23 Fév 2015, 20:07

Maths-ForumR a écrit:Pour la 1.a l'énoncé donne f(0)=0 donc la fonction est continue par prolongement non ?

Encore faut-il le démontrer en prouvant que la limite à gauche et à droite de x² arctan(1/x) en 0 vaut 0.

Maths-ForumR a écrit:J'ai réussi a avancer mais il me reste la 1)e. et 3)c. pouvez vous m'aider

Pour la 1e, il suffit d'utiliser le fait que la fonction arctan est bornée.

par **Maths-ForumR** » 23 Fév 2015, 20:11

Sa Majesté a écrit:Encore faut-il le démontrer en prouvant que la limite à gauche et à droite de x² arctan(1/x) en 0 vaut 0.

Pour la 1e, il suffit d'utiliser le fait que la fonction arctan est bornée.

Donc f(x) est le produit d'une quantité qui tend vers 0 et d'une quantité bornée donc sa limite tend vers 0 en 0. ?

par **Sa Majesté** » 23 Fév 2015, 20:24

Oui c'est le principe.
Après, je trouve ça mieux de le montrer mathématiquement plutôt que par des phrases.

par **Maths-ForumR** » 23 Fév 2015, 20:25

Très bien,
Mais comment faire mathématiquement ?

par **Sa Majesté** » 23 Fév 2015, 20:33

Ben avec des <

par **Maths-ForumR** » 23 Fév 2015, 20:35

Ah oui daccord et en appliquant le théorème des gendarmes merci

Il ne me reste plus que la question 3)c. pour conclure mon exercice, On sait d'après 3)b. que (an)n>1 converge vers 0 mis en +00 limite de la suite (;)n.an) est une forme indéterminée et je n'arrive pas a enlever l'indétermination..

par **Sa Majesté** » 23 Fév 2015, 21:11

Il faut utiliser la définition de f.

par **Manny06** » 24 Fév 2015, 10:28

Sa Majesté a écrit:Il faut utiliser la définition de f.

déjà répondu sur un autre forum
an²Arc tan(1/an)=1/n
Arc tan(1/an)=1/nan²

quand n tend vers +infini ,an tend vers 0 donc 1/an vers +infini
quelle est la limite de Arc tanu quand u tend vers + l'infini ?
je te laisse terminer

par **Maths-ForumR** » 24 Fév 2015, 12:37

La limite de Arctan(u) quand u tend vers + l'infini est égale a PI/2
Mais je ne comprend pas le lien avec : ;)n.an

par **Manny06** » 24 Fév 2015, 13:43

Maths-ForumR a écrit:La limite de Arctan(u) quand u tend vers + l'infini est égale a PI/2
Mais je ne comprend pas le lien avec : n.an

1/nan² tend vers pi/2 donc....

par **Maths-ForumR** » 24 Fév 2015, 14:05

Donc an tend vers racine(2/Pi.n) ?

par **Manny06** » 24 Fév 2015, 17:20

Maths-ForumR a écrit:Donc an tend vers racine(2/Pi.n) ?

tu ne cherches pas la limite de an et n ne peux figurer dans la limite
par contre tu peux dire que nan² tend vers 2/pi

par **Maths-ForumR** » 24 Fév 2015, 17:42

Oui mais pour nous le an n'est pas au carre sous la racine

par **Manny06** » 24 Fév 2015, 18:20

Maths-ForumR a écrit:Oui mais pour nous le an n'est pas au carre sous la racine

V(nan²)=Vn*an puisque an>0 tend donc vers V(2/pi)

par **Maths-ForumR** » 24 Fév 2015, 18:36

Je viens de recevoir un mail de mon professeur il y avait une coquille dans le sujet il ne faut pas trouver la limite de racine (n.an) mais la limite de racine(n).an !!

Donc je comprend mieux votre résonnement merci beaucoup pour votre aide !!

Bonne continuation

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