Qu'est-ce-qu'une aire ?

par **duchere** » 17 Juin 2006, 17:10

Beh si je déroule une bande de longeur 2pi et de largeur dx, j'ai un rectangle de hauteur dx et de largeur 2pi....?
non ?
Et ensuite pour trouver pi.... J'ai une méthode sympa....
Imaginons un cercle de rayon 1 inscrit dans un carré de coté 2...
Si l'on met au pif un point de coordonnées (x,y) dans le carré, la probabilité qu'il soit dans ou sur le cercle est A(cercle)/A(carré)=pi/4
avec x et y suivant une loi uniforme sur [0,1]
D'où pi/4=p(x²+y²<=1)
L'évènement x²+y²<=1 est l'union de n=0 jusqu'à N-1 des "ndx<=x>=(n+1)dx et y²<=1-n²dx²" avec dx=1/N et N tend vers + l'infini
D'où p(x²+y²<=1)=sigma de n=0 jusqu'à N-1 de dx*(2*sqrt(1-(ndx)²)/2)
D'où p(x²+y²<=1)=sigma de n=0 jusqu'à N-1 de dx*sqrt(1-n²dx²)
C'est à dire pi/4=integrale de 0à 1 de sqrt(1-x²)
d'où pi=4 fois l'integrale de 0 à 1 de sqrt(1-x²)
Marrant non !
Et miantenant, on a l'aire du cercle !
En partant de rien donc, on trouve l'aire d'un cercle !
Je délire ?
Jean.

par **duchere** » 17 Juin 2006, 17:13

Par contre, lorsque tu dis qu'on somme toutes les valeurs de f sur l'intervalle, je ne suis pas d'accord !
Et tu le dis toi même : entre deux réel y'a toujours un réel !
Donc non on somme des rectangles, je ne vois pas comment on peut nier cela...
Et en intuitionnant comme tu dis, et comme je faisais avant, ca m'amenais à dire des betises du genre surface d'une sphere = 2*integrale de 0 à R de 2*pi*x*dx

Enfin bon.... je suis pas le roi des maths donc bon...
Voili voilo !
Jean

par **nox** » 17 Juin 2006, 17:36

J'ai dit qu'on VOULAIT sommer toutes les valeurs de f. Le probleme est que justement on ne peut pas. Donc on "construit" ces rectangles en approximant f par une fonction en escalier c'est a dire constante par morceau en faisant tendre les morceaux vers 0. Du coup comme la valeur est la meme la somme infini devient un produit d'une valeur par une longueur d'intervalle et donc dans tout ca on n'est pas obligé de parler d'aire. Meme si evidemment ce produit correspond à l'aire du rectangle qu'on a construit ca n'est qu'une facon de concevoir la chose parmi d'autre. Le probleme de fond etait de définir l'aire. Chimomo a proposé l'intégrale et on lui a dit que l'intégrale était elle meme définie par des aires. Et je voulais simplement dire que pour moi la définition de base et la premiere maniere de se représenter une intégrale ne fait pas intervenir les aires.

Ensuite pour pi justement...je ne pense pas que le premier a avoir trouvé l'aire du cercle ai calculé une loi uniforme ^^ . C'est la méthode de base qui m'intrigue. Apres pour trouver pi c'est sur qu'il existe beaucoup de moyen. Notamment en utilisant les nombres premier et la fonction de Riemann.
Ceci dit c'est vrai que ta méthode est sympa :p c'est joli.

par **duchere** » 17 Juin 2006, 17:49

Mais on s'en fout totalement de la loi uniforme ! Y'a pas besoin de connaitre la loi uniforme pour savoir le probablité de taper dans le cercle est de pi/4 ! Pour savoir que c'est pi/4, il suffit de savoir que l'aire d'un disque est pi*r² et que l'aire d'un carré de coté 2 est 2*2=4
c'est tout ! Et ce qui est drole d'ailleurs, c'est qu'on a pas besoin de connaitre pi pour savoir que l'aire d'un disque est pi*r².... ! On ne se mort pas du tout la queue là !
Bon, et puis pour l'intégrale, c'est vrai qu'on peut voir la chose comme ca...
Par exemple dans le cas d'un loi de probabilité, l'intégrale vaut un, et la somme de chacune des probas vaut 1....
Pourquoi pas....
Mais moi je ne suis quand même pas vraiment d'accord....
Car pour moi la probablité de tomber SUR le reel a, c'est pas p(X=a) mais p(a-h<=X>=a+h) avec h tend vers 0, et c'est ca qui nous permet de dire que l'intérale vaut 1....
Mais bon, je veux bien entendre des arguments contre ! J'adore me battre :)
Voili Voilo
Jean.

par **nox** » 17 Juin 2006, 18:11

:) "Pour savoir que c'est pi/4, il suffit de savoir que l'aire d'un disque est pi*r² et que l'aire d'un carré de coté 2 est 2*2=4" mais justement!...moi je veux savoir comment on a trouvé que l'aire d'un cercle c'etait pi*r² !! sans connaitre pi ni rien...comment en ayant un cercle on peut intuiter son aire. Le coup des bandes dont la largeur fait intervenir pi c pas intuitif justement a cause de pi qui ne représente rien physiquement.

et sinon euh...t as l'air vachement porté sur les probas (moi j y suis allergique :D ). Mais pour ma part je parlait pas de densité de proba ni rien. Simplement quand on a une fonction et qu'on veut sommer toutes les valeurs de l'ensemble d'arrivé je dis qu'on découpe l'ensemble de départ en sous-ensemble sur lesquels la fonction est constante :)

enfin remarque dans tout ca on voit que y a beaucoup de maniere de voir une intégrale, géométrique avec l'aire, algébrique, probabiliste etc...si ca se trouve on dit exactement la meme chose mais chacun dans sa branche ^^ .

par **Chimomo** » 17 Juin 2006, 18:17

Ce qui est curieux c'est que tu trouves l'aire du cercle : pi*R² en utilisant des rectangles de hauteur pi.
Ta démonstration est en fait anachronique parceque justement la première définition de pi c'est le rapport du périmètre du cercle à son rayon (ou de son aire au carré de son rayon) .

Toi tu admet que pour approcher le cercle par des rectangles il te faut une hauteur pi, ca revient à dire : ssoit une constante k égale au rapport de l'aire d'un cercle sur le carré de son rayon, démontrons que l'aire du cerlce vaut k*r².

Certains diront que je radote, mais le meilleur moyen de calculer l'aire du cercle c'est l'intégrale (qui fait apparaitre pi naturellement).

par **nox** » 17 Juin 2006, 19:31

je suis plutot d'accord avec chimomo :)

apres de toute facon la c'est pas une question qui se répond par oui ou par non. Chacun son point de vue ^^

ceci dit c'est vrai que j'ai aussi l'impression que tes raisonnements tournent un peu en rond :-s

par **duchere** » 17 Juin 2006, 21:25

Mais ce qu'on fait là, c'est une intégrale !
Sauf qu'on ne s'en rend pas compte !
Lorsqu'on fait une intégrale, on ne fait que sommer des rectangles...
Bon alors je refais le cheminement...
Appellons pi la longueur d'un demi cercle et donc 2pi la longueur d'un cercle.
Démontrons tout d'abord que la longueur d'un cercle de rayon R vaut alors 2piR

Soit un cercle Cr de rayon et de centre O
Soit le cercle C1 de rayon 1 et de centre O
Soit u un vecteur fixe
Soit N un entier naturel tendant vers + l'infini
appellons da la mesure d'angle 380°/N

*Soient les N points Mn appartenant à Cr et d'angle (u,OMn)=n*da
Si N tend vers + l'infini, on a Cr = union des MnMn+1 avec n allant de 0 à N-1
(OMn,OMn+1)=da Donc tous les MnMn+1 sont égaux
D'où longueur de Cr=L(Cr)=N*M0M1

*Soient Nn les N points appartenant à C1 et d'angle (u,ONn)=n*da
Si N tend vers + l'infini, on a C1 = union des NnNn+1 avec n allant de 0 à N-1
(ONn,ONn+1)=da Donc tous les NnNn+1 sont égaux
D'où la longueur de C1=L(C1)=N*N0N1=2pi

*De plus, d'après Thalès, N0N1/M0M1=1/R
(Car n'oublions pas que comme N tend vers + l'infini, (M0M1) et (N0N1) sont des droites parallèles et (OMn) et (OMn+1) se coupent trivialement en O
Or N0N1=2pi/N et M0M1=L(Cr)/N

On a donc (2pi/N)/(L(Cr)/N)=1/R
C'est-à-dire L(Cr)=2pi*R

Voilà ca c'est fait il me semble

*Ensuite, pour calculer l'aire du disque...Ce n'est que de l'intégrale... Mais expliquons pourquoi...
Si vous voullez je le fais avec plus de détails que tout à l'heure...

Soit Cr un cercle de centre O et de rayon R
Soit (D) une droite passant par O
Soit dx=R/N avec N tend vers + l'infini
Soient Mn les N points de (D) tels que OMn=n*dx
On A(Cr)=sigma de n=0 à N-1 des aires délimitées par les cercles de centre O de rayon OMn et OMn+1 qu'on notera simga de n=0 à N-1 des A(Cn,Cn+1)

* Déroulons nos bandes....
En effet, comme N tend vers + l'infini, les cercles Cn et Cn+1 ont même rayon ndx et donc même circonférence 2*pi*n*dx
Donc, en "déroulant cette bande", on a un rectangle de hauteur OMn+1-OMn=dx et de longueur L(Cn)=L(Cn+1)=2*pi*n*dx
Donc A(Cn,Cn+1)=dx*2pi*n*dx

*Donc A(Cr)=sigma de n=0 à N-1 de dx*2pi*n*dx
Et donc A(Cr)=integrale de 0 à R de 2pi*x*dx c'est à dire pi*R²

*Mais il est clair qu'il n'y a pas besoin de détailler comme ca pour comprendre que c'est l'intégrale.. Ca ya pas de problème, je suis d'accord !
Mais ce qui est sur, c'est que quand on utilise l'integrale pour l'aire du cercle, on ne fait qu'ajouter des rectangles !

Voili Voilo !

Faites moi des réflexions ! Ca m'intéresse !
Merci.
Jean.
PS : j'espere qu'il n'y a pas d'erreurs je me suis pas relu
si y'en a, désolé

par **Chimomo** » 17 Juin 2006, 22:32

Je tiens à dire que d'une part ta rédaction est assez fatiguante à comprendre (utilise un peu LaTeX pour éditer tes posts stp) et que mathématiquement parlant ta facon de faire est une horreur, je m'explique:

N un entier qui tend vers l'infini ca ne veut rien dire. Tu fait tous les calculs avec un entier n, et à la fin tu fait tendre n vers l'infini pour obtenir un résultat.

Dire que comme n tend vers l'infini on a le cercle qui est égal à la réunion d'un ensemble de segments ca ne va pas du tout. Cr n'est jamais égal à la réunion des MnMn+1 (d'ailleurs cette réunion n'a pas vraiment de sens) c'est ca qu'il faut que tu comprenne. Il aurait été mieux de parler du polygone de sommets (Mn).

Dire que des droites sont parrallèles et se coupent en o n'a pas plus de sens. Dire que le point d'intersection de deux droites tend vers l'infini serait acceptable, mais il est impossible qu'elle deviennent parrallèles si leur point d'intersection est fixe.

Ensuite, ta démonstration de la circonférence du cercle n'a aucun intérêt puisque tu suppose que le cercle de centre o et de rayon 1 à un périmètre de 2*pi, donc le cercle de centre o et de rayon R étant son image par l'homotétie de centre o et de rayon R, son périmètre est 2*pi*R.

Ensuite tu ne fait pas un vrai calcul intégral pour calculer l'aire du disque. Tu utilise une méthode physicienne (en tout cas appréciée par mon prof de physique) surnommée méthode de l'oignon. Tu dit que l'aire du disque c'est la somme des pérmiètres de tous les cercles de même centre qui y sont inscrits. C'est pratique pour retrouver les résultats, mais ce n'est pas du tout mathèmatiques. En fait le pi apparait tout naturellement dans le calcul de l'aire du disque en intégrant la fonction y=

qui est l'équation de la partie du contour situé au dessus de l'axe des abscisses et en la multipliant par deux.

Mais ce qui est vraiment inquiétant c'est ta facon de raisonner en "prenant un N qui tend vers l'infini".

par **duchere** » 17 Juin 2006, 22:55

veux-tu m'excuser mais lorsqu'on parle l'intégrale de a à b d'une fonction, ce qu'on note dx N'EST RIEN D'AUTRE que (b-a)/N avec N un entier qui tend vers + l'infini ! On ne fait que diviser un intervale en une infinité d'intervales minuscules !

"Il aurait été mieux de parler du polygone de sommets (Mn)."
C'est exactement la même chose ! Un polygone de sommets Mn n'est rien d'autre il me semble que l'union des segments MnMn+1 ...
Un triangle est l'union de trois segments....

Pour les parralèles qui se coupent en O, c'est un lapsus et tu as bien compris que c'est (OMn) et (OMn+1) qui se coupent trivialement en O

Pour ce qui est de la démo de la circonférence, le but de ma démarche en ce moment est de définir la géométrie en partant de rien et en l'orientant vers l'intégrale.
Ainsi, je n'ai pas à utiliser d'homotétie !
Et le fait que je dise que C1 soit de périmètre 2pi n'a pas de problème dans le mesure où juste après je donne une méthode pour trouver pi, mais cette méthode utilise la formule de l'aire d'un disque, mais on ne se mord pas du tout la queue si tu y réfléchis mieux !

Et arrêtez avec vos "Mais il suffit d'intégrer" parce qu'intégrer ce n'est que sommer des rectangles et faire ce que je dis sans s'en rendre compte, désespérément

Enfin, ma démarche peut paraitre physicienne par exemple quand je dis dérouler les bandes, mais ce n'est qu'un moyen pédagogique

Ma rédaction, j'en suis désolé, je vais tacher de mabituer à latex, mais vu que personnellement, j'aime les mathématiques par l'oral, si les gens écrivaient comme moi, ca ne me gènerait pas ....

Voila

Jean

par **Chimomo** » 17 Juin 2006, 23:09

Au lieu de répéter sans cesse que nous ne comprenons rien, essaye de comprendre ce qu'on te dit. Je ne pense pas avoir besoin qu'on mexplique ce qu'est l'intégrale. de plus, si tu voulais définir géométriquement l'intégrale, la définition du rectangle devrait te satisfaire (parceque tu peut définir toute l'intégrale de Riemann avec) et de plus l'intégrale de Riemann est définie avec des fonctions en escaliers sur des espaces vectoriels alors qu'on vienne pas me dire que c'est une conséquence des calculs d'aires.

Ta vision de l'intégrale à toi par contre est trés limité parceque ce n'est que la limite de quelques sommes de Riemann trés particulières.

Tu ne veux pas utiliser les homotéties?? mais tu les suppose pourtant définies dés que tu utilise des vecteurs et des normes, alors c'est bête de ne pas les utiliser. Pour ta méthode, le problême n'est pas qu'elle soit physicienne, mais qu'elle n'est en rien mathématique (ou en tou cas absolument pas évidente du tout contrairement à ce que tu semble croire).

Et tu ne "définie pas la géométrie en partant de rien" puisque tu fait de la géométrie Euclidienne ce qui implique que tu admet déja beaucoup d'axiome dans lesquels toutes les propriétés que tu veut démontrer on déja étées démontrée (en fait tu ne fait que chercher des démo différentes).

Ce n'est pas si facile que ca de réinventer les mathématiques.

Pour ce qui est de ton dx, c'est très naïf de croire que c'est (b-a)/N aavec N tendant vers l'infini (qui ne veut d'ailleurs toujours rien dire). Si un jour tu étudie les formes différentielles, tu comprendras ce que signifie la notation dx (qui est une application linéaire en fait).

par **duchere** » 17 Juin 2006, 23:33

Je te trouve prétentieux
Je me trouve très petit face à toutes les théories scientifiques
Je ne veux pas t'expliquer mais m'expliquer
Personne ni moi ne réinventera les mathématiques et surtout toi
Je trouve simplement que face à quelqu'un comme moi qui n'ai strictement aucune notion et qui approche les maths de façon naive et qui est d'ailleurs selon mon prof en tout cas la meilleure méthode pour approcher les maths, ta démarche me pousse à m'enfermer dans la caverne que décrivait Platon.
Bon, je vais me coucher...
Et pour tout dire... tout cela m'a un peu déprimé... je crois que désormais j'vais faire des maths seul et ne pas partager.... pour le meilleur et surtout pour le pire, hein chimono

par **nox** » 17 Juin 2006, 23:58

moi jessaye juste de dire que de mon point de vue intégrer ca nest pas forcément sommer des aires de rectangle, mais des valeurs de fonctions. Les rectangles c'est la représentation géométrique c'est vrai. Mais ma description de l'intégrale est juste je crois et ma définition ne fait pas intervenir de rectangle ni d'aire (enfin...c'est pas MA définition hein c'est celle de Riemann je crois, ne soyons pas prétentieux :p ).

Mais bon je crois que de toute facon le débat tourne un peu en rond :)
Chacun son opinion et chacun sa facon de voir ^^
Il n'y a pas de raison qu'une facon de voir soit plus juste qu'une autre.

La question de base etait interessante cela dit. Quand on est amené a étudier des mathématiques tres complexes et profondes ca fait toujours du bien de se rappeler que meme sur les bases beaucoup de choses qu'on considere comme évidentes sont en fait au moins aussi compliquées.

Bref, ce débat fut bien intéressant :)

par **Chimomo** » 18 Juin 2006, 09:01

Ta réaction m'étonne un peu.

En quoi mon message est-il prétentieux?
Ou ai-je prétendu réinventer les mathématiques?

Travailler seul serait la prie des choses, parceque c'est enexposant son raisonnement qu'on peut en voire les failles et les limites. C'est très bien d'avoir présenter tes idées et de les avoir défendues, mais il ne faut pas être mauvais joueur non plus. Tu n'as pas encore beaucoup de moyens mathématiques, mais je pense que ca nous est tous arrivés un jour quand nous étions au lycée de chercher à démontrer des théorèmes de façon originale. Aprés ta sup je pense que tu envisageras beaucoup mieux les remarques que je t'ai faites. Il est normal que tu penses qu'une intégrale soit une somme d'aires de rectangles, car c'est la façon dont les profs de term qui ont le souscis d'expliquer cette notion difficile à leurs élèves l'expliquent, mais cela n'a en fait rien à voir. POur ce qui est des homotéties je viens de me rendre compte que tu utilise Thalès : c'est exactement équivalent à parler d'une homotétie.

Mais surtout ne vas pas t'enfermer pour noircir des pages de papiers, les forums sont faits pour discuter des sujets qui nous intéresse et pour demander qonseil, c'est exactement ce que tu as fait et c'est très bien.

Cordialement (et sincérement désolé si j'ai pu te paraitre blessant ce n'était pas mon intention).

par **duchere** » 18 Juin 2006, 13:33

Non j'ai juste été un peu énervé de ne pas avoir été compris dans ma démarche...
Je ne voulais pas du tout réinventer les maths...
ce que je voulais faire c'était simplement m'éclaircir la notion d'aire, et j'y suis parvenu...
Alors qu'avant ca me paraissait évident mais j'étais incapable de dire ce que c'était concretement...

Finalement, l'aire d'un rectangle de cotés x et y est une valeur qu'on associe tel que A(x+a,y)=A(x,y)+A(a,y) et on trouve alors que A(x,y)=xyA(1,1)
Et l'aire nous est alors définie par rapport à une aire unitaire qui est celle d'un carré de coté 1
Voilà ce que c'est pour moi...
Et ca m'a permis de comprendre que ce A(x,y)=x*y ne découle de rien d'autre que de A(x+a,y)=A(x,y)+A(a,y)
Enfin bon voila...
Ca n'est pas ca réinventer les maths....
Et c'est juste que lorsque j'ai posté mon message, je m'attendais pas à voir arriver des théoriciens qui me disent que mes démos sont pa rigoureuses... je le sais... Mais bon elles sont pas fausses il me semblent...
Enfin bref...
C'est l'été maintenant, et je vais plus faire de beach volley que de maths je crois.
A+
Sans rancoeur.
Jean

par **Chimomo** » 18 Juin 2006, 15:10

C'est vrai que j'aurais du commencerpar te dire que ta réfelxion était bien et inetrressante, je n'ai pas été très bon pédagogue et je te prie de m'en excuser.

J'avais bien compris ta démarche, mais c'est son côté heuristique d'une part, et ta confusion(ou disons vision réductrice mais c'est normal parceque tu es en terminale j'aurais du y penser plus tôt) des les intégrales d'autre part qui me génaient.

A bientôt je l'éspère

Chimomo

par **duchere** » 18 Juin 2006, 21:05

Sans rancune !! :)
A bientot
Jean

par **duchere** » 21 Juin 2006, 19:07

Salut !
J'suis de retour.. J'étais parti trois jours...
Oui, je voulais dire que ma démo de la circonférence est nulle car j'utilise thalès....
Quant à la rigueur des autres démos, je peux arranger ca...
En effet, en fait, j'ai eu la flemme de faire des encadrements...
Au lieu de dire "comme N tend vers l'infini on peut dire..."
ce qu'il faut faire, c'est dire que l'aire est inclu entre ceci et cela, ceci et cela étant des fonctions de N
On fait alors tendre N vers + l'infini et on se rend compte qu'on a la même limite et on utilise alors le lemme des gendarmes....
Voila... Si j'ai le temps, je ferai ca rigoureusement....
Ah et puis pour le calcul de pi il me semble que j'ai fait une erreur c'est 8 fois l'intégrale, pas 4 je crois...
J'ai oublié les X négatifs je crois.
Jean.

par **Chimomo** » 21 Juin 2006, 19:45

Je vais paraitre très exigeant mais, est-ce que au passage tu peux commencer à tapoter sur LaTeX ??
:ptdr:

Allez c'est de bonne guerre, j'attends impatiemment de voir ta démo formalisée

par **duchere** » 22 Juin 2006, 17:05

Bon alors pour la circonférence.... vu que j'aime l'intégrale... Voilà comment je procèderais mais bon.... je suis pas sûr de mon coup...
Bon alors y'a une semaine je m'étais intéressé aux arcs de courbe donc je vais utiliser ce que j'ai trouvé....
Soit la courbe C d'équation y=f(x)
Approchons la courbe entre a et b par la ligne polygonale M(0)M(1)...M(N)
M(n) ayant les coordonnées (a+n*dx, f(a+n*dx) ) avec dx=(b-a)/N
Alors, et là je ne sais pas quoi dire pour le justifier, L(a,b)=

=

Or ,

= dx*f'(a+ndx)

D'où L(a,b)=

=

C'est-à-dire L(a,b)=

Voilà ceci fait ou mal fait....

Maintenant appliquons ceci pour trouver la formule de la circonférence d'un cercle....
On part du principe qu'un cercle de rayon 1 a une circonférence de 2pi
d'où 2pi=4*

en applicant la formule avec f(x)=

Un cercle de rayon R a pour circonférence C=4*

en applicatnt la formule avec f(x)=

Or,

=R*

Donc par changement de variable,
C=4*R*

D'où C=2*pi*R

Bon, cela me semble très compliqué comme démo....

NB : Je précise que les intégrales ne sont pa définies en leur borne supérieure.... C'est donc la limite de l'intégrale quand la borne supérieure tend vers 0 ou R... C'est juste ?

Qu'est-ce-qu'une aire ?

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