Qu'est-ce-qu'une aire ?

[duchere]

Voilà la question existencielle que je me suis posée sur les aires et à laquelle j'ai tenté de répondre.
Je suis parti de principe que pour moi l'aire de deux domaines disjoints était égale à la somme des aires de ces deux domaines.Car je ne peux pas en douter : c'est vrai, personne ne peut m'affirmer le contraire, mais je ne peux pas vraiment le justifier personnellement... (problème philosophique...)
En effet, c'est la seule définition que j'ai su donner à une aire.
Ainsi, je peux expliquer pourquoi l'aire d'un rectangle de côtés a et b est a*b ce qui personnellement ne me parait pas si évident que ca finalement ! On a tellement été inculqués !

Donc on a pour définition A(D1UD2)=A(D1)+A(D2) si D1 et D2 sont disjoints.

Donc, soit un rectangle de largeur k*x et hauteur y.
Il est bien l'union disjointe de k rectangles de largeur x et de hauteur y.

Si on note A(a,b) l'aire d'un rectangle de largeur x et de hauteur y, on a :

A(k*x,y)=k*A(x,y)

D'où en particulier A(x*1,y)=x*A(1,y)

De plus, il est évident que A(a,b)=A(b,a) quelque soient a et b.

D'où A(x,y)=x*A(y*1,1)=x*y*A(1,1)

On arrive donc au résultat qu'on nous a inculqué.

Et ce que je trouve sympa dans ce résultat, c'est qu'on voit que cela ne nous permet pas de déterminer l'aire d'un carré de côté 1 dont on nous a pourtant appris être égale à un... L'aire d'une surface semble donc être relative à ce qu'on imagine être l'aire d'un carré de côté 1 ...

A moins peut-être que j'ai oublié une hypothèse...
Cependant, personnellement, après cogito cartésien, la seule chose dont je suis arrivé à être sûr c'est que A(D1UD2)=A(D1)+A(D2) !!!
Mystère...
Quelqu'un d'intéressé ?

[duchere]

La démo n'est pas bonne. En effet, ce n'est que pour k entier qu'on a A(kx,y)=kA(x,y)
J'en ai fait une autre un peu compliquée, si quelqu'un est intéressé, il me la demande

[duchere]

Je crois que cette fois c'est bon... Mais il doit y avoir bien plus simple.
Confirmez moi.
On a la relation A(k*x,y)=k*A(x,y) SEULEMENT pour k ENTIER NATUREL !

A(x+h,y)=A(h(1+x/h),y)
Soit N avec n tend vers +
Posons alors h=(1/N)*x
On a h tend vers 0 et 1+x/h entier naturel
D'où A(x+h,y)=(1+x/h)*A(h,y)
Or d'après notre lemme de départ, A(x+h,y)=A(x,y)+A(h,y)
On a alors A(x+h,y)=(1+x/h)*(A(x+h,y)-A(x,y))
D'où A(x+h,y)=A(x+h,y)+(x/h)A(x+h,y)-A(x,y)-(x/h)A(x,y)

Et donc [A(x+h,y)-A(x,y)]/h = A(x,y)/x
Comme h tend vers 0, on a : A(x,y)'(x)=A(x,y)/x

C'est à dire A(x,y)=ax

De plus, A(x,y)=A(y,x)
Donc on a aussi A(x,y)=by

On a donc finalement A(x,y)=cxy

Enfin, comme A(1,1)=1*1*c, on a c=A(1,1)

En définitive, on a donc A(x,y)=x*y*A(1,1)

Est-ce-que je délire ?

[aviateurpilot]

je veux montrer que A(ax,y)=aA(x,y) pour a de Q
il existe (p;q) de Q² tels que a=p/q

A(ax,y)=A(x,y)=pA(,y)

et on a A(x,y)=A(x,y)=qA(,y)
donc A(,y)=A(x,y)/q

=> A(ax,y)=A(x,y)=a(x,y)
et puisque Q est dense dans R
on trouve facilement en utilisant une suite dans Q qui converge vers un nombre reel r
que A(rx,y)=rA(x,y)

[duchere]

J'avais fait la même chose et j'ai été arrêté parce que justement c'était que pour les rationnels....
Et que je ne sais même pas ce que ca veut dire que Q est dense dans R (je suis en terminale, je fais prépa l'année prochaine).
Donc bon voilà... Ta méthode est peut-etre plus rapide...
Ma méthode est-elle valide ?
Merci.
jean.

[Amine.MASS]

salut,
ce n'est pas le sujet qui m'a apprécié mais la façon dont tu le traites

(je suis en terminale, je fais prépa l'année prochaine).

pour un éléve de terminal,c'est déja pas mal ce que tu as fait,dire méme que c'est tres tres bien (déja se poser ce genre de question ça revéle grands choses sur ton niveau)

L'aire d'une surface semble donc être relative à ce qu'on imagine être l'aire d'un carré de côté 1 ...

c'est vrai puisque déja ça dépend de l'espace dont tu travailles et donc de l'unité..

Et que je ne sais même pas ce que ca veut dire que Q est dense dans R

t'inquiéte pas tout viendra à temps ,continue comme ça tu fera un bon topin l'année prochaine
Cordialement,Amine

[Chimomo]

Je suis étonné que personne n'ai pensé à une méthode "naturelle" pour calucler l'aire du rectange de cotés a et b.

Cette aire est par définition l'aire située sous la courbe d'équation y = b entre les droites x = 0 et x = a, elle vaut donc c'est à dire a*b.

[Chimomo]

Je précise cependant que cela marche pour calculer une aire dés qu'on est sur un domaine intégrable (et c'est la tout le problème) et qu'évidemment l'intégrale donne l'aire enunité d'aire qu'il faut avoir préalablement défini.

[mathelot]

En définitive, on a donc A(x,y)=x*y*A(1,1)

je suis d'accord. La seule chose à admettre comme axiome,
c'est que l'on suppose que le carré C de coté 1 a une aire (que l'on ne mesure pas et que l'on prend comme unité d'aire = 1) ensuite, on sait calculer l'aire de n'importe quel carré de côté rationnel en proportion du carré unitaire, puis l'aire de n'importe quel carré de côté réel en passant à la limite puis l'aire de n'importe quelle surface pas trop pathologique en mesurant son intérieur avec des carrés arbitrairement petits. malheureusement, il y a des surfaces (ou domaines du plan) que l'on ne peut mesurer.

[mathelot]

Je suis étonné que personne n'ai pensé à une méthode "naturelle" pour calculer l'aire du rectange de cotés a et b.

Cette aire est par définition l'aire située sous la courbe d'équation y = b entre les droites x = 0 et x = a, elle vaut donc c'est à dire a*b.

on tourne en rond, l'aire d'un rectangle est supposée connue AVANT
de définir ce qu'est une intégrale (par ex avec l'intégrale de Riemann).

[aviateurpilot]

Et que je ne sais même pas ce que ca veut dire que Q est dense dans R (je suis en terminale, je fais prépa l'année prochaine).
Donc bon voilà... Ta méthode est peut-etre plus rapide...

moi aussi je suis en terminale.

[nox]

de mon coté je suis de l'avis de chimomo...

cette facon de calculer une aire de rectangle en sommant des aires de rectangles plus petits et disjoints ca revient a faire du calcul intégral et a faire tendre vers 0 la largeur des rectangles...
c'est la passage des sommes de darboux aux sommes de riemann, et des sommes discretes aux sommes continues.

Ceci dit l'argument de mathelot n'est pas faux et on a défini les aires bien avant les intégrales (c'était bien ca le sens du message?ou plutot de remarquer que quand on dit qu'une aire est une somme d'aires c'est une fausse définition?). Cependant pour moi quand on a trouvé ces formules de calculs d'aires c'est bien comme ca qu'on s'est représenté la chose meme si la notion d'intégrale n'existait pas...par exemple en visualisant la largeur du rectangle qui "balaye" la longueur. Je sais pas si c'est tres clair ce que je viens de dire ^^

cependant (réfutation de mon propre argument :p ) ce "truc" ne fonctionne que pour les figures simples, et pour le cercle par exemple qui fait intervenir pi qui par definition est transcendant, je me demande comment on est arrivé à trouver la formule. La je suis pas assez calé en histoire des maths. Mais bon je suis persuadé que beaucoup de monde ici pourra répondre à cette question :)


PS : dire que Q est dense dans R, ca veut dire que tout élément de R est inifiniment proche d'un élément de Q, que tout point de R est limite d'une suite de points de Q en fait (l'adhérence de Q est égale à R)

[aviateurpilot]

que tout point de R est limite d'une suite de points de Q en fait

par exemple: soit x de R-Q
; est l'ecriteur de x avec n chiffres apres la ","
et puisque x a une infinité de chiffres apres la "," donc

[duchere]

Merci pour vos réponses...
Il me semble illogique (mais je suis en terminale) de démontrer cela en disant que c'est car la définition de l'intégrale est basée sur l'aire d'un rectangle.

on pose dx=(b-a)/N
on fait tendre N vers l'infini

et alors, l'aire délimité par x=ndx, x=(n+1)dx, la courbe et y=0 est par approximation à L'AIRE D'UN RECTANGLE : dx*f(n*dx)

On a alors selon moi comme la meilleure définition de l'intégrale :
= =dx*
avec N tend vers + l'infini et dx=(b-a)/N

Si je dis des conneries, dites le moi je le prendrai mieux que si vous ne me dites rien....

Donc l'intégrale se sert de la définition de l'aire d'un rectangle....

Jean.

[duchere]

Désolé je croyais que je pouvais utiliser les balises mathématiques d'un autre forum ici... :)
mais ca se comprend je crois

[aviateurpilot]

la surface et le volume sont relative
il ne faut tjrs une unité meme avec l'integral

[Chimomo]

Il est vrai que je me suis mal exprimé et j'en suis désolé.

Mais je voulais dire que tout votre calcul pour calculer l'aire d'un rectangle, c'est en fait du calcul intégral car vous sommez des aires de plus en plus petites A(dx,y) en fait. Et quand ca de devient infinitésimal, la somme devient une intégrale (au sens de Riemman).

(Bon c'est pas très rigoureusement exprimé mais c'est pour vous expliquer mon idée)

[duchere]

En ce qui concerne le problème des cercles : on utilise toujours l'approximation à un rectangle puisqu'on dit que c'est 2*l'intégrale de 0 à R de 2pi*x*dx c'est à dire sigma de n=0 à N-1 de dx*2*pi*(ndx) c'est à dire la somme des rectangles de hauteur dx et de largeur 2*pi*ndx
On a donc découpé le cercle en bandes d'épaisseur tendant vers 0 et on les a approximé à des recanglescar leur largeur tend vers 0.
Voili voilo dites moi si je me trompe ... :)
Jean

[duchere]

Pas de probleme chimono :)

[nox]

en ce qui concerne la définition de l'intégrale elle n'est pas basée sur l'aire d'un rectangle...enfin...pas forcément...disons que a la base on veut sommer toutes les valeurs d'une fonction sur R. Donc on parcourt la courbe en qq sorte et on ajoute chaque nouvelle valeur. Cependant comme R est archimedien (entre 2 reels il existe toujours un reel) on ne peut pas sommer exactement de maniere discrete. Donc on approxime localement a chaque fois sur une certaine abscisse a une meme valeur (la valeur a gauche de l'intervalle). hem...surement pas tres clair...pas facile a expliquer. Voila le principe de base...et on peut expliquer et "intuiter" ca sans parler d aire :) ...Donc on tourne pas en rond.

pour le probleme du cercle (ou du disque pour etre exact ;) ) je suis d'accord sur le principe...mais c'est l'intervention de pi qui m'intrigue. C'est a dire dans l'explication précédente comment on a trouvé les largeurs des bandes a sommer.
Si quelqu'un a une réponse...