F est t-elle injective??-MPSI-

par **Anae** » 30 Jan 2006, 22:31

coucou!
alors voila j'ai un petit problème concernant une question de mon dns de maths.
je suis en MPSI ( première année de prépa scientifique)

on considère l'application F de P vers P qui a tout point M de coordonnées (x,y) dans R fait correspondre le point F(M) de coordonnées (x',y') dans R définies par
x'= 9x+20y
y'=4x+9y

on me demande de démontrer que F de P vers P est bijective
( à mon avis c'est a dire de montrer que 1 elle est injective et que 2 elle est surjective)
j'ai réussi a démontrer sa surjectivité
mais son caractère injectif me pose problème
en effet il faut démontrer que pour tout (x,y) et (w,z) appartenant à R
f(x,y)=f(w,z) implique (x,y)=(w,z)

et voila je bloque...
merci d'avance
et bonne soirée a tous
Anae

par **abcd22** » 30 Jan 2006, 22:37

Bonsoir !
Vous avez dû voir les applications linéaires ?
Ici comme F est linéaire, surjective et que la dimension de l'espace de départ est la même que celle de l'espace d'arrivée, elle est automatiquement injective.
On peut aussi le montrer à la main avec le noyau : montre que si F(x,y) = 0 alors x = y = 0 (F est injective si et seulement si Ker F = {0}).

par **Anae** » 30 Jan 2006, 22:40

non on a pas vu les applications linéaires
enfin maintenant si mais ce n'est pas le sujet du devoir je pense
il y aurait-il un autre moyen d'arriver au résultat?
merci beaucoup quand même
Bisous
Anae

par **abcd22** » 30 Jan 2006, 22:47

Si vous avez parlé du noyau et de l'équivalence injectivité/noyau nul tu peux quand même utiliser la 2e méthode je suppose...
Sinon tu l'utilises mais sans le dire : si f(x,y) = f(w,z), par linéarité (ou en faisant le calcul si tu ne veux vraiment pas parler de linéarité) f(x-w,y-z) = 0 et on résoud f(u,v) = 0 pour prouver que x-w = 0 et y-z = 0 :happy2:

par **Anae** » 30 Jan 2006, 23:02

:id: :happy2: :ptdr:
merci beaucoup!
bonne soiré a vous
bisous
Anae

par **abcd22** » 30 Jan 2006, 23:05

Bonne soirée aussi et bon courage pour le dns !

par **Anae** » 30 Jan 2006, 23:39

rebonsoir :hein:
alors j'ai de nouveau un petit problème
on me pose ensuite la question suivante :
"f est-elle une isométrie"
pouvez vous m'indiquer un chemin a suivre s'il vous plait?
je sais qu'un isométrie est une application "conservant" les distances mais cela ne m'aide pas beaucoup...
merci d'avance
Anae

par **yos** » 30 Jan 2006, 23:48

O(0,0) et A(1,0)
OA=...
O'(?,?), A'(?,?)
O'A'=...

par **Anae** » 30 Jan 2006, 23:51

je crois avoir compris
mais je n'en suis pas tout a fait sur
A mon avis f n'est pas une isométrie
il faut donc trouver un contre exemple
par exemble le point A(1,0) a pour image par F A'(9,4)
et le point B(0,1) a pour image par F B'(20,9)
on voit ici que les longueurs ne sont pas conservées...
est-ce exact??
Merci d'avance
Anae

par **Anae** » 30 Jan 2006, 23:52

merci yos
tu a confirmé mon raisonnement
merci beaucoup
bisous anae

par **memphisto** » 30 Jan 2006, 23:58

Elle ne conserve pas les distances, ni les angles.
Par contre elle conserve les surfaces.

Pour le voir, prenons 2 vecteurs u=(u1,u2) et v=(v1,v2) dans l'espace de départ. Par exemple u=(1,0) et v=(0,1). L'aire du parallélogramme déterminé par ces deux vecteurs correspond à la norme du produit vectoriel u^v , donc égale à |u1v2-u2v1|. Pour notre exemple u^v=1.
Ensuite prenons les images de ces vecteurs F(u)=((9u1+20u2),(4u1+9u2)), et F(v)=((9v1+20v2),(4v1+9v2)).
Pour notre exemple: F(u)=(9,4) et F(v)=(20,9). D'ou F(u)^F(v)=|81-80|=1.
Donc la surface est conservée.
Dans le cas général,
F(u)^F(v)=|(9u1+20u2)(4v1+9v2)-(4u1+9u2)(9v1+20v2)|=
=|36u1v1+81u1v2+80u2v1+180u2v2-36u1v1-80u1v2-81u2v1-180u2v2|=
=|u1v2-u2v1|=u^v.
La surface est conservée.

par **Anae** » 31 Jan 2006, 00:28

merci beaucoup pour cette précision. en effet je n'avais pas vu cette propriété de l'application...

mais me voila avec un nouveau problème...
on a toujours la même application F
Mais on ajoute aux donnés une hyperbole H d'equation : x^2-5y^2=1

je souhaite démontrer que M appartient à H <=> F(M) appartient a H
j'ai démontré que si F(M) appartient a H alors M appartient a H
mais je suis en difficulté avec la réciproque
en effet comment puis-je faire pour "passer outre" le système d'équations??
Merci d'avance
bonne nuit ( vu l'heure tardive :dodo: )
Anae

Ps: on peut avoir l'impression que je pose mes questions sans avoir pris le temps d'y réfléchir longtemps avant mais j'ai déja travaillé sur le dns et je reviens uniquement sur les questions qui m'ont posé problème... Voila pourquoi il y en a autant en un interval de temps si court...

par **memphisto** » 31 Jan 2006, 00:44

Il me semble que c'est tout simple:
Soit M=(x,y). Alors F(M)=(x',y')=(9x+20y,4x+9y).
Alors:
(x')²-5(y')²=(9x+20y)²-5(4x+9y)²=81x²+360xy+400y²-80x²-360xy-405y²=x²-5y².
Donc il est clair que M est dans H ssi F(M) est dans H ;-)

par **memphisto** » 31 Jan 2006, 00:52

En fait, le truc c'est que la matrice de F, en tant qu'application linéaire, s'écrit dans la base canonique:

.
Lorsque l'on considère la forme bilinéaire symétrique correspondante à cette matrice, on obtient que les "équipotentielles" de la forme quadratique associée sont les courbes du type x²-5y²=cste.
Mais je me trompe peut-être, je viens de répondre à l'arrache sans réfléchir.
Je vais vérifier si ce que je viens de dire tient la route.

Remarquons, pour finir, le fait que le det(M)=1. On retrouve donc la propriété que F conserve les aires.

par **Anae** » 31 Jan 2006, 19:00

:stupid_in a oui en effet une fois expliquée ma question peut parraitre presque idiote...
Merci beaucoup de me l'avoir si gentillement expliquée néanmoins..
bonne soirée Anae
Ps: je n'ai pas encore vu les matrices en cours si bien que je n'ai pas totalement compris le raisonnement de ton deuxième message... :hein: désolé...

par **Anae** » 31 Jan 2006, 19:51

en fait non.. je n'ai pas tout compris
pour moi l'inplication que vous m'expliquez est : si F(M) appartient a H alors M appartient a H et non pas 'limplication demandée c'est a dire si M appartient a H alors F(M) appartient a H
est ce moi qui interprète mal la question??
et dans le cas contraire pouvez vous m'aider?
Merci d'avance Anae

par **memphisto** » 31 Jan 2006, 20:06

Je voulais dire la chose suivante:

Notons M le point de coordonnées (x,y). Alors son image par F: F(M) a pour coordonnées (x',y')=(9x+20y,4x+9y).

Ensuite faisons le calcul suivant:

(x')²-5(y')²=(9x+20y)²-5(4x+9y)²=81x²+360xy+400y²-80x²-360xy-405y²=x²-5y².

Alors on voit clairement que:

(x',y') appartient à H ssi (x')²-5(y')²=1
ssi x²-5y²=1 grâce au calcul ci dessus,
ssi (x,y) appartient à H.

par **Anae** » 31 Jan 2006, 20:29

:we:
merci beaucoup.... en effet je n'avais pas totalement compris votre raisonnement et notamnent les équivalences qui nous amènent au résultat
Merci d'avoir pris le temps de me ré-expliquer..
bonne soiré Anae

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