Espérance conditionnelle

[lionel52]

Bonsoir!

A t-on l'équivalence : X et Y indépendants <=> E[X|Y] = E[X]
Merci d'avance!

Pour moi c'est oui sans certitude!

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonsoir!

A t-on l'équivalence : X et Y indépendants E[X|Y] = E[X]
Merci d'avance!

Pour moi c'est oui sans certitude!

Oui, mais je ne saurais pas le re-démontrer...

[DamX]

Salut !



Oui, mais je ne saurais pas le re-démontrer...

Bonjour,

C'est faux. Le sens direct est vrai et découle directement de la définition de l'indépendance.

La réciproque est totalement fausse en revanche.

Un contre-exemple : prendre Y variable aléatoire quelconque (pour bien voir on peut prendre la variable qui vaut 0 avec proba 1/2 et 1 avec probe 1/2), G une gaussienne centrée, toutes deux indépendantes, et X = GY.

On a bien E[X|Y] = 0 = E[X] alors que X et Y ne sont pas du tout indépendantes.

Damien

[DamX]

Pour compléter et avoir une vision intuitive du pourquoi la condition sur l'espérance conditionnelle est insuffisante, on peut le voir en "nombre de contraintes" (rajoutez autant de guillemets que nécessaire).

Avoir X et Y indépendantes, c'est très fort et ca impose une contrainte locale en chaque point de l'espace de proba produit de X et de Y, c'est dire qu'en tout point de l'espace de X x l'espace de Y, la proba de cet événement est le produit des probas pour x et pour y.

Alors que la contrainte sur l'espérance conditionnelle, c'est bien une contrainte local sur Y (pour chaque y, E[X|Y=y] = E[X] mais c'est juste une contrainte globale sur X (une espérance), on voit intuitivement "qu'il en manque".

Vu autrement avec de l'analyse, si on se prend des variables a densité, l'indépendance ca veut dire f(x,y) = g(x)h(y) pour tout x et pour tout y !

Alors que la contrainte d'espérance conditionnelle c'est dire :
, on a une seule contrainte globale sur l'intégrale de x ce qui bien sur ne permet pas de retrouver une contrainte locale qu'est l'indépendance.

La où c'est joli c'est que la définition équivalente de l'équivalence permet de reporter les contraintes locales de l'espace des probas vers un espace de fonctions (bla bla pour toutes fonctions phi, psi, E[phi(X)psi(Y)] = E[phi(X)]E[psi(Y)])

Je ne sais pas si ça éclaircit

[beagle]

Les explications de Damien sont suffisantes, très détaillées et intéressantes.

Donc juste parce que je voulais construire mon petit contre-exemple à moi que j'aurais, pour voir.

On se fixe deux probas liées, dès le départ, comme ça on ne se demande pas si elles sont indépendantes, peut-ètre, obligatoires, possibles.Bon ben non, c'est du lié de chez lié.

Donc on prend du Y qui selon yi donnera des xi,
alors suffit que pour tous les yi , E[X/Y=yi] = E[X]

Donc avec très peu d'éléments
Y est du pile ou face avec proba 1/2
quand Y=face alors on lance un dé (ce sera X) de façon successive jusqu'à obtenir 1 ou 4 (on doit pouvoir mettre 1,4,5,6), quand Y =pile on lance le dé jusqu'à obtenir 2 ou 3 (ou qs 2,3,5,6)
semblerait bien que E soit 2,5 pour X et pour les Xf, Xp .

ça marche-t-y Damien mon exemple?

[DamX]

ça marche parfaitement mon cher Beagle.

Pour les deux valeurs de Y l'espérance conditionnelle est la même 2.5, et pourtant les distributions conditionnelles Xp et Xf n'ont rien à voir.

[capitaine nuggets]

Bonjour,

C'est faux. Le sens direct est vrai et découle directement de la définition de l'indépendance.

Ah, c'est que j'ai dû oublier qu'il fallait des hypothèses supplémentaires... :lol3:

[lionel52]

Merci beaucoup je vais regarder tout ça !