Espérance conditionnelle

[leowaly]

Bonjour à tous,
j'ai une petite question:
pourquoi E[X|X] = X l'espérance conditionnelle de X sachant X est X et pas E[X]?
merci d'avance

[yos]

L'espérance conditionnelle de X sachant B où B est une sous-tribu, est une variable aléatoire (et pas un nombre) qui se note E(X|B) et qui a même espérance que X.
Mais E(X|X) je ne vois pas ce que cela peut être.

[yos]

Ah oui, E(X|Y) doit vouloir dire E(X|B) ou B est la tribu engendrée par les événements (Y=k).
Du coup je maintiens ce que je disais : E(X|Y) est une v.a. et pas un nombre.

[leowaly]

merci Yos pour ta réponse
et dans ce cas pourquoi E[X|X] = X (c'est ce que j'ai trouvé dans un manuel sans explication)

[yos]

Ben... faut écrire la définition de E(X|X). C'est pas commode les espérances conditionnelles.

X est une v.a. sur et Q=XP (autre mesure sur ). Si T' est une sous-tribu de T, on sait qu'il existe une unique v.a. X' telle que (Radon-Nicodym). C'est ce X' qu'on note E(X|T'). Ca doit être de l'unicité presque sûre je pense.

Maintenant si Y est une autre v.a. sur , le T' est constitué des pour E dans T (ou "est engendré par"?).

Donc pour montrer que E(X|X)=X, il faut montrer que .

Bon amuse-toi.

[leowaly]

merci
mais je vais plutot soumetre ca à mon prof.
je m'attendai que ca soit moins compliqué

[kazeriahm]

bon sinon il y a plus simple que ce qu'a dit yos meme si ca revient au même :

Sur un espace probabilisé (Omega,F) tu prends une sous tribu B de F.

Alors l'espace L^2(Omega,B) est un sous espace fermé de L^2(Omega, F). Pour une v-a X dans L^2(Omega,B), on pose E(X|B)=la projection orthogonale de X sur L^2(Omega, F).

C'est le point de vue algèbrique de la chose. On peut généraliser avec des arguments de densité cette définition aux v-a qui sont dans L^1, aux v-a positives, etc...

[kazeriahm]

et pour completer, on montre que E(X|B) est l'unique va B-mesurable telle que
E(E(X|B)*Z)=E(X*Z) pour toute va Z B-mesurable. En particulier si X est B-mesurable, E(X|B)=X.