Espaces vectoriels, SEV, combinaison linéaire

[besten]

Bonsoir,

Je suis en Fac de Sciences et Techniques, je prépare une licence de maths. Le seul problème, je n'accroche pas du tout avec les espaces vectoriels.

Voici les problèmes (si vous pouviez me donner des pistes) :

[Trident]

Exercice 1 .

1° Si u1 s'écrit comme combinaison linéaire de u2 et u3 , alors il existe a dans R et b dans R tel que
u1 = a u2 + b u3

On voit que c'est impossible car le vecteur " a u2 + b u3 " aura nécessairement une troisième coordonnée nulle, ce qui n'est pas le cas de u1.

3° Il faut montrer que pour tout vecteurs de la forme (a,b,c), il existe des réels alpha, bêta, gamma tel que :

(a,b,c) = alpha * (1,3,-2) + bêta * (4,-1,0) + gamma * (5,0,0)

Tu traduis tout ça en un système dont les inconnues sont alpha, bêta, gamma et tu montres que le système a des solutions.

Fait d'abord cet exercice 1 avant d'attaquer le 2.

[Trident]

Exercice 2 .

1° On veut déterminer les "m" tels que le vecteur gm soit combinaison linéaire de u1, u2, u3.
Tu traduis le tout en système comme d'hab.

gm est combinaison linéaire de u et v <===> il existe des réels a et b tels que gm = au + bv
Tu traduis le tout en système matriciel et tu regardes à quels conditions sur "m" ce système admet des solutions.

2° Un peu comme la 3. de l'exercice 1. Tu considères un vecteur de R^3 de la forme (a,b,c) et puis tu fais comme dans la 3. de l'exo1.

3° Encore un système...

Exercice 3.

On voit que pour tout vecteur de R² de la forme (a,b) , on a :

(a,b) = -a(-1,1) + [1/6 * (b+a)] (0,6) donc oui ces deux vecteurs engendrent bien R².


Exercice 4.

Résous le système de deux équations à 3 inconnues donné et tu verras que l'ensemble des solutions est engendrée par u.

Exercice 5.

1°Tu peux déterminer une base de E et de F et montrer que la famille formé de tous les vecteurs de la base de E et de F forment une base de R^3.

2° Si t'as réussis à trouver une base de E dans la 1°, forcément t'as une famille génératrice de E.

3° Théorème :

Si A et B sont deux s-e-v d'un e-v , alors A inter B est un s-e-v de cet e-v

Par contre, attention, A U B n'en est pas toujours un (des fois c'est vrai, des fois c'est faux).

[besten]

Je vous remercie des éléments de réponses que vous m'avez fourni.
Je fais les exercices le plus vite possible, et je vous transmets les "réponses".

Est-ce que vous êtes un professeur de mathématiques ?

[Trident]

Je vous remercie des éléments de réponses que vous m'avez fourni.
Je fais les exercices le plus vite possible, et je vous transmets les "réponses".

Est-ce que vous êtes un professeur de mathématiques ?

Nan, je suis un simple élève en première année qui a déjà traité ce chapitre et qui l'a plutôt bien compris.

[besten]

Je n'ai pas compris l'exercice 3 et ton explication pour résoudre l'exo.

Pour l'exercice 4, tu dis que l'ensemble des solutions est engendrée par u. Comment on le voit et quels sont les solutions dont tu parles ?

Dans l'exercice 5, c'est la question 3 que je n'ai pas saisi. Comment on détermine E U F et E inter F et comment on sait si E U F est un sev ou non ?

[Trident]

Exercice 3 :

Il faut montrer que n'importe qu'elle vecteur de R² peut s'écrire sous la forme x(-1,1) + y(0,6) avec x et y réels.
Tu es d'accord ? C'est ce que veut dire "les deux vecteurs (-1,1) et (0,6) engendre R²".

Il faut donc montrer que pour tout vecteur de R² de la forme (a,b), avec a et b dans R peut s'écrire :

(a,b) = un réel fois (-1,1) + un réel fois (0,6)

Or, on remarque que pour tout a et b dans R, on a :

(a,b) = -a(-1,1) + [1/6 * (b+a)] (0,6)

En effet :

-a(-1,1) + [1/6 * (b+a)] (0,6) = (a,-a) + (0, b+a) = (a+0, -a+b+a) = (a,b)

Ainsi, pour tout vecteurs de la forme (a,b) (donc tout vecteurs de R²) t'arriveras toujours à trouver deux réels (ces réels c'est d'une part -a et d'autre part 1/6 * (b+a) ) de sorte que tu puisses écrire :
(a,b) = réel * (-1,1) + réel (0,6).

Prenons le vecteur (81 , -12.45) qui appartient bien à R² .

Ben on a l'égalité :

(81 , -12.45) = (-81) * (-1,1) + (1/6 * (81-12.45) ) * (0,6)

= -81(-1,1) + 11.425(0,6)


Tu as donc montré que tout vecteurs de R² s'écrivait comme combinaison linéaire de (-1,1) et (0,6). Ces deux vecteurs engendrent donc bien R².


Maintenant, comment j'ai trouvé le fait que :

pour tout a et b dans R , on a : (a,b) = -a(-1,1) + [1/6 * (b+a)] (0,6) ??


Ben tu peux résoudre une équation d'inconnues les réels x et y que tu cherches que tu exprimeras en fonction de a et b.

Tu cherches des réels x et y dans R tels que (a,b) = x(-1,1) + y(0,6) c'est à dire tels que
(a,b) = (-x,x) + (0,6y) soit (a,b) = (-x, x+6y)

tu cherches donc x et y satisfaisant l'équation :

a = -x
b= x+6y

Ce système d'inconnues x et y (car a et b étant fixés) est très simple à résoudre.
On en déduit :

x = - a
b = -a + 6 y d'où 6y = b + a et enfin y = 1/6 * (b+a)


Exercice 4 :

Erreur dans la consigne : Montrer que E = Vect{u} où u= (1,4,13) plutôt et non (1;4;8).


Tu as un sous espace vectoriel défini par :

E = { (x,y,z) € R^3 : x+3y-z = 0 et 4x-y = 0 }

cet ensemble, c'est l'ensemble des triplets (x,y,z) de R^3 qui vérifient les deux équations suivantes :
x+3y-z = 0 et 4x-y = 0. Tu es d'accord ??

Quels sont les (x, y, z) qui vérifient les deux équations ci dessus ? Ben c'est logiquement, l'ensemble des solutions de l'équations.

Si je te dis , quels sont les réels qui vérifient : x² +2x -3 = 0 . Tu vas me dire , c'est "1 et -3" . Comment tu le sauras ? Ben tu résoudras l'équation.

Donc là,c 'est pareil, l'ensemble E étant l'ensemble des (x,y,z) vérifiant les égalités :

x+3y-z = 0 et 4x-y = 0

l'ensemble E est donc l'ensemble des solutions du système linéaire suivant de deux équations à trois inconnues homogène (homogène, ça veut dire que le second membre est nul, donc c'est quelque chose égal 0 à la fin)

{x+3y-z = 0
{4x-y = 0

Pour avoir donc une idée sur ces fameux triplets (x,y,z), faut résoudre ce système.

(Remarque : l'ensemble des solutions d'un système d'équations linéaires homogène est toujours un sous espace vectoriel. De manière générale, c'est à dire que quand on te dit : Soit M = { l'ensemble des n-uplets (x1, x2, ...., xn) qui vérifient les égalités :

réel*x1 + réel*x2 + .... + réel*xn = 00 (attention, faut que ça soit égal 0!!!)

réel*x1 + réel*x2 + .....+ réel*xn = 00

....

réel*x1 + réel*x2 + .....+ réel*xn = 00

}, alors M est toujours un espace vectoriel. C'est un théorème du cours à savoir démontrer)

Revenons en à nos moutons.

Je te disais donc que pour mettre la main sur ces fameux (x,y,z) de ton ensemble E, j'ai qu'une seule chose à faire : résoudre ce fameux système.


{x+3y-z = 0
{4x-y = 0

Tu as normalement déjà traité le chapitre "Matrices", donc tu sais résoudre ce système en le mettant sous forme matricielle.

En le résolvant, tu obtiens le système équivalent ci contre :

x+3y-z = 0

y - (4/13)z = 0

tu en déduis donc :

y = (4/13)z

et x = z - 3y = z - 3*[ (4/13)z ] = z - (12/13)z = (13/13)z - (12/13)z = (1/13)z

Bilan, ces fameux x , y et z, on les connait !!!
On connait tous les triplets (x,y,z) qui vérifient les deux égalités de l'ensemble E. Ce sont tous les triplets de la forme :

[ (1/13)z , (4/13)z , z ] où z appartient à R.

Donc tous les triplets (x,y,z) appartenant à l'ensemble E sont tous ceux de la forme :

[ (1/13)z , (4/13)z , z ]

Or :

[ (1/13)z , (4/13)z , z ] = (1/13)z * (1,4,13)

Donc tous les triplets (x,y,z) appartenant à l'ensemble E sont tous ceux de la forme :

Z(1,4,13) où Z appartient à R ( on a en fait posé Z = (1/13)z , comme z appartient à R, Z appartient aussi à R)

Bilan :

Tous les triplets (x,y,z) appartenant à l'ensemble E sont tous de la forme Z(1,4,13) où Z appartient à R, c'est la définition même du Vect.
E est donc engendré par le vecteur (1,4,13) donc E = Vect{u} avec u = (1,4,13).


Je t'explique l'exo 5 dans un post séparé pour bien que ce soit aéré.

[Trident]

Suite....

Exo5 :

E inter F, c'est l'ensemble des vecteurs de R^3 (a,b,c) avec a , b et c dans R qui appartiennent à la fois à l'ensemble E et à la fois à l'ensemble F.

Pour un vecteur (a,b,c) quelconque de R^3 :
Appartenir à l'ensemble F, ça veut dire quoi ??
Ça veut dire pouvoir s'écrire comme combinaison linéaire de u=(1,2,3).
Appartenir à l'ensemble E, ça veut dire quoi ??
Ça veut dire, vérifier l'équation a-c = 0.

Normalement , tu as du trouver qu'une famille génératrice de ton ensemble E est la famille :
{ (1,0,1) ; (0,1,0) } avec la question 2.
Donc appartenir à E, ça veut aussi dire : pouvoir s'écrire comme combinaison linéaire de (1,0,1) et de (0,1,0)

Donc, appartenir à F inter E, ça veut dire quoi ? Ça veut dire, appartenir à la fois à E et à F, ça veut donc dire :

pouvoir s'écrire à la fois comme combinaison linéaire de (1,2,3) et pouvoir aussi s'écrire comme combinaison linéaire de (1,0,1) et (0,1,0). Donc , tous les vecteurs (a,b,c) de R^3 qui appartiennent à la fois à F et E vérifient forcément :


(a,b,c) = x(1,2,3)

(a,b,c) = y(1,0,1) + z(0,1,0) avec x , y et z réels .

Maintenant, comment trouver ces réels x , y et z ???? Si on trouve ces réels x y et z, boum c'est gagné. On saura donc comment sont les vecteurs (a,b,c) qui appartiennent à F inter E et on saura donc quel est cet ensemble des vecteurs appartenant à F inter E .


Ben, des deux égalités ci dessus, on tire :

x(1,2,3) = y(1,0,1) + z(0,1,0)

soit :

(x,2x,3x) = (y,0,y) + (0,z,0)

soit

(x,2x,3x) = (y+0, 0+z, y+0)

soit

(x,2x,3x) = (y,z,y)

soit

x = y
2x = z
3x = y

soit

x - y = 0
2x - z = 0
3x - y = 0


Tu as un système à résoudre, on voit (mais tu peux le résoudre tout doucement à ta manière) directement que la seule solution c'est x = y = z = 0 donc

de ces deux égalités précédemment écrites :

(a,b,c) = x(1,2,3)

(a,b,c) = y(1,0,1) + z(0,1,0)

on tire :

(a,b,c) = (0,0,0)

donc le seul vecteur appartenant à E inter F , c'est le vecteur nul.


E inter F = {0} (cet ensemble est réduit au simple vecteur nul)

C'est un s-e-v !!


E U F maintenant.

C'est l'ensemble des vecteurs de R^3 : (a,b,c) appartenant soit à E ou soit à F .
Essaies par toi même de déterminer cet ensemble et de voir si finalement c'est un s-e-v.

Rappel : pour qu'un ensemble soit un s-e-v d'un e-v , il faut d'abord que cet ensemble soit inclus dans l'e-v (mais, c'est toujours le cas sinon on te poserai pas la question)

il faut que le vecteur nul appartienne à cet ensemble.

il faut qu'il soit stable par addition, c'est à dire que si tu prends deux éléments (comme on est dans R^3, j'aime bien prendre (a,b,c) et (a',b',c') ) de ton ensemble, il faut vérifier que la somme de tes deux éléments (ici c'est donc (a+a', b+b', c+c')) appartienne toujours à ton ensemble.

il faut enfin qu'il soit stable par produit externe, c'est à dire que pour tout réel lambda et pour tout élément de ton ensemble (ici (a,b,c) car on est dans R^3), il faut que le produit de ton réel et de ton élément soit toujours dans ton ensemble (donc ici, il faut que lambda(a,b,c) appartienne à ton ensemble).

Bon courage.

[besten]

Je n'ai pas encore tout lu mais merci beaucoup pour ton aide.