Espaces vectoriels normés isomorphes

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seriousme
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Espaces vectoriels normés isomorphes

par seriousme » 03 Fév 2009, 23:54

Bonjour,

soit A un espace vectoriel normé complet.
soit B un espace vectoriel normé.

Si A et B sont isomorphes, est-ce que B est nécessairement complet ?

Merci.



SimonB
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par SimonB » 04 Fév 2009, 00:32

Quelles conditions de continuité as-tu sur ton isomorphisme ?

seriousme
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par seriousme » 04 Fév 2009, 00:40

Justement faut il forcément imposer la continuité de cet isomorphisme ?

Si il est continu la réponse est à priori oui pour la complétude de B.
Mais la continuité est-elle une condition nécessaire et suffisante ?

Sinon, auriez vous un contre-exemple simple dans le cas d'un isomorphisme quelconque ?

Merci.

ThSQ
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par ThSQ » 04 Fév 2009, 00:55

Sans hypothèse de continuité ça n'a aucune chance de marcher : mettre deux normes sur un ev (de dim infinie ;-) qui rende l'ev complet pour une norme et pas complet pour l'autre (cf normes ad-hoc et bien connues sur C°([0;1],IR) par ex).

seriousme
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par seriousme » 04 Fév 2009, 01:14

Sans hypothèse de continuité ça n'a aucune chance de marcher

La continuité est donc nécessaire mais est-elle suffisante ?

mettre deux normes sur un ev (de dim infinie ;-) qui rende l'ev complet pour une norme et pas complet pour l'autre (cf normes ad-hoc et bien connues sur C°([0;1],IR) par ex).

Donc entre deux espaces fonctionnels ?
En auriez vous une illustration simple ?

Merci encore.

ThSQ
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par ThSQ » 04 Fév 2009, 01:25

seriousme a écrit:La continuité est donc nécessaire mais est-elle suffisante ?


Tu as donc une appli linéaire bijective et continue d'un Banach dans un evn. Ecris ce que ça implique.


seriousme a écrit:Donc entre deux espaces fonctionnels ?
En auriez vous une illustration simple ?


C'était juste le 1er exemple qui n'est venu d"ev qui est complet pour un norme et pas pour une autre.


PS Si tu me vouvoies encore je te réponds plus ;) (ou alors appelle-moi Monsieur ;)

seriousme
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par seriousme » 04 Fév 2009, 03:16

Tu as donc une appli linéaire bijective et continue d'un Banach dans un evn. Ecris ce que ça implique.

En utilisant la caractérisation par les suites convergentes et en procédant par équivalence ça semble le faire donc sauf erreur elle est suffisante.

Et de même, à la louche, avec cette caractérisation si l'isomorphisme n'est pas continu alors il est possible de trouver une suite convergente dans le Banach dont la suite image ne convergera pas dans l'autre donc elle est bien nécessaire aussi.

PS Si tu me vouvoies encore je te réponds plus ;) (ou alors appelle-moi Monsieur ;)

Ok, c'est noté ;).

 

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