Espaces séparables et lp

[dominique.abgrall]

Bonjour,
est ce quelqu'un aurait une idée pour démontrer que lp pour 1<=p<+infini est séparable et l(+infini) ne l'est pas ?
Merci d'avance

[legeniedesalpages]

Bonjour,
est ce quelqu'un aurait une idée pour démontrer que lp pour 1<=p<+infini est séparable et l(+infini) ne l'est pas ?
Merci d'avance

Bonjour,

tu peux montrer que les sont denses dans si , chaque étant la suite qui vaut 1 au -ième terme, 0 pour les autres termes.

pour montrer que n'est pas séparable tu peux montrer que les suites à valeurs dans forment un sous-ensemble infini non dénombrable et que la distance entre deux quelconques de ces suite est 1.

[dominique.abgrall]

ça me semble pas mal mais comment dire qu'il y a forcément un élément e(i) dans tout voisinage de x de lp ?

[legeniedesalpages]

non désolé je suis allé trop vite.

Tu montres en fait que est dense dans , et que est dénombrable et dense dans , par "transitivité" de la densité, il sera aussi dense dans .

étant l'ensemble des combinaisons linéaires à coeff dans des .

[dominique.abgrall]

bon, là ça me semble plus juste.
as tu une référence pour justifier la transitivité de la densité ? Je veux bien mais je ne connaissais pas cette propriété.
Merci

[Joker62]

Tu veux dire la transitivité de la densité :)

A C B avec A dense dans B
B C C avec B dense dans C

Cela implique-t-il que A est dense dans C ?

Adh(A) = B
Adh(B) = C

=> Adh(B) = Adh(Adh(A)) = Adh(A) = C

[legeniedesalpages]

bon, là ça me semble plus juste.
as tu une référence pour justifier la densité de la transitivité ? Je veux bien mais je ne connaissais pas cette propriété.
Merci

euh non, c'est peut être un peu informel comme appelation.

Mais pour tout , tu peux trouver, quelque soit ,
un tel que (par densité de dans ) et tu peux trouver un tel que (par densité de dans ).

ça nous donne ,

ce qui te permet d'établir que est dense dans .

[dominique.abgrall]

effectivement ...
et c'est on ne peut plus simple !

[dominique.abgrall]

juste un truc ... peux tu me redéfinir les e(j) j dans N pour voir ?

[legeniedesalpages]

est la suite de réels

est la suite de réels

est la suite de réels

...

[dominique.abgrall]

ok, c'est bon
un simple doute m'avait effleuré