Equa diff à variables séparables

[duchere]

Bonjour tout le monde !

On a l'équa diff



1)Résoudre en séparant les variables
2)Trouver un point commun parlequel il passe une inifinité de courbes intégrales

Bon, alors j'ai eu la correction de cet exo et ca me pose problème.
Quand on intègre en séparant les variables, on est oblig de supposer et différents de 0.
Pour le second pas de problème. L'équa diff n'est pas définie en +/-a
Pour le premier c'est un problème il me semble.
En résolvant comme ca, on cherche seulement les y qui ne s'annullent pas.
Non ?
Bon, et sinon pour la deuxieme question, pour avoir une inifinité de solution en K(constante d'intégration) , il faut avoir un truc du type 0*K=0 et pour cela il faut avoir x0=+/-a et y0=0 (x0,y0) les coord du pt cherché
Donc on en arrive cette conclusino alors que y n'est pas définie en +/-a.
Bizarre ? Non .

Enfin voila.
Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance.

[duchere]

J'ai trouvé ca sure le net :

On veut résoudre l'équation différentielle
(E) : y' - x² = x² y
dy/dx = x² + x²y
dy/dx = x²(1 + y)
si y = -1 alors y' = 0 = x² . 0 = 0 donc la fonction constante égale à -1 est solution.
si y -1 alors dy/(1+y) = x²dx
dy/(1+y) = x²dx
ln |y + 1| = x3/3 + k avec k
|y + 1| = exp(x3/3 + k)
y + 1 = +/- exp(x3/3 + k)
y = -1 + Kexp(x3/3)
on retrouve le cas y = -1 pour K = 0
donc les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions F définie par F(x) = -1 + Kexp(x3/3) où K
Pour K = 0 on retrouve la solution y = -1
donc les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions F définie sur par :
F(x) = -1 + Kexp(x3/3)

Voila

Je me pose la questino suivante :
il disent y+1 différent de 0 Donc y différent de -1 et c'est bon.
Mais moi je pensais qu'il fallait que quelque soit x, y(x) soit différent de -1.
il me semblait qu'il fallait supprimer toutes les fonctions passant par -1 et non pas seulement les fonctions constantes égales à -1.
POurquuoi ya pa besoin ?

Merci d'avance.

[Yipee]

Le theorème de Cauchy-Lipschitz te dit qu'il existe une unique fonction (localement) qui vérifie l'équation avec la donnée y(x_0)=-1. Or tu sais que la fonction constante est dans ce cas. Tu en déduis que les autres ne prennent pas la valeur -1