Espaces métriques complets

[MacManus]

Bonjour

Soit une suite d'espaces métriques complets. On définit l'espace métrique produit associé par : et ,

Vérifier :
1) que l'on définit bien ainsi une distance d sur E
2) qu'une suite de E converge vers x E ssi les suites de convergent vers . En déduire que (E,d) est une espace métrique complet.

Pour la question 1), je ne sais pas trop comment m'y prendre pour montrer l'inégalité triangulaire ...

Pour la 2) je pense avoir montrer correctement l'implication de "droite à gauche", mais celle de "gauche à droite" me pose problème.

Merci

[Finrod]

Pour le 1, tu as toujours min(1,a+b)
min(1,d) vérifie donc l'inégalité triangulaire. Après ça reste vérifié en passant aux sommes finies, puis enfin on passe à la limite.

pour le 2, je te dis si je vois qqchse

[L.A.]

Bonjour.

pour la 2)
En notant X(k,n) le nieme terme de la suite X^(k)
supposons d(X^(k),x) -> 0
soit n dans N fixé, il faut m.q. dn(X(k,n),Xn) -> 0

soit e>0, supposons e<2^(-n),
alors il existe K dans N t.q. pour k>=K, d(X^(k),X)en particulier, pour k>=K,

2^(-n).min(1,dn(X(n,k),Xn))<=d(X^(k),X)
donc le min ne peut valoir 1 et vaut dn(X(n,k),Xn).
ainsi pour k>=K

dn(X(n,k),Xn) < e/2^(-n)

[fourize]

bonjour!

regardez moi ça, et dites moi s'il y a quelque chose qui ne va pas !?
(en particulier Finrod, car je pense utilisé ton idée...)

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* montrons l'inégalité triangulaire:
étant la norme associé à l'espace, on a :




or min(1,a+b) min(1,a) + min(1,b) "d'après Finrod" :++:





étant tous, des séries à termes positifs, peux faire tendre N vers +
(j'écris la ligne d'au dessus avec le + à la place de N)
Et je conclus .
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ça marche ça !?

[MacManus]

Salut et merci à vous 3.

Pour la question 1 je suis du même avis que Finrod (même si on n'a pas prouvé cette inégalité qui semble logique toutefois). fourize, tu viens d'écrire ce que j'avais écris pour montrer cette inégalité triangulaire, seulement je n'étais pas sûr de pouvoir utiliser l'inégalité de Finrod justement !! Je suis d'accord avec toi :)
à L.A : merci, je n'avais pas pensé à utiliser le 2^-n et epsilon ! je suis d'accord en tout cas

[Finrod]

Non mais l'inégalité que j'ai donné,il suffit de regarder tous les cas possible : quand a et b sont plus grand que 1,quand seulement l'un des deux est plus grand que 1 et que la somme est plus grande que 1, puis enfin quand les deux sont plus petit que 1 et que la somme est plus grande ou plus petite.

Au total : 4 cas.

Pour le 2, j'ai pas la réciproque qui manque, je vais regarder un peu là.

Edit: le truc avec les min ne marche que parcequ'on se restreint au cas a,b positif.

Edit2 : Mais en fait la réciproque que je ne vois pas, c'est celle que tu dis avoir fait "gauche à droite". Tu as fait comment ?

[Finrod]

Bon ok je l'ai. Il faut poser un premier tel que sont convergentes donc bornées et on majore bien par fois une constante.


Tu as un truc qui ressemble ?

[MacManus]

Bonsoir

Je rappelle que est une suite d'espaces métriques complets

On a montré l'implication de "gauche à droite", cad que :
tend vers x dans E) ==> tend vers dans pour tout n entier naturel

Pour l'implication de "droite à gauche" cette fois, peut-on dire que :

Puisque est un espace complet pour la métrique , alors toute suite de Cauchy de cet espace est convergente (dans cet espace) et on a ainsi que : , , , , et non , comment faire ? Je pense que tout ceci est faut en fait



Si qqn pouvait m'aider, ce serait très sympa. Merci beaucoup

[fourize]

bonsoir,

en plein réflexion: déjà je vois plein d'erreur .


ce que, visiblement tu n'as pas tenu compte en faisant tendre p vers + ???