Espaces de baire

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Cestmoikmille
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espaces de baire

par Cestmoikmille » 14 Jan 2008, 12:12

bonjour,

j'ai regardé tout un tas de liens, de cours, la bwatabaire, etc... et je ne comprends toujours pas ce qu'est un espace de Baire.

"Un espace topologique est dit de Baire si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si une union dénombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide."

Je lis, je relis, je fais des dessins, et je comprends pas. Pourriez vous, je vous prie, me donner des exemples simples d'espaces de Baire (ou d'espaces Pas de Baire ^^). Avec R, R\Q, ....

merci d'avance pour votre aide !



tize
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par tize » 14 Jan 2008, 12:28

Bonjour,
le théorème de Baire stipule que tout espace métrique complet est de Baire, c'est donc le cas de ou avec .
Par contre n'est pas de Baire, en effet si l'on prend les ouverts denses dans : , l'intersection dénombrable dans qui n'est évidement pas dense dans ...

Cestmoikmille
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par Cestmoikmille » 14 Jan 2008, 12:46

:id:

je sais que tous les sont complets, donc de Baire, mais je voyais pas vraiment comment c'était possible...

Mon problème était, je crois, que j'avais oublié que et \ ne sont ni ouverts ni fermés dans !!

merci tize :++:

(je ne dis pas non aux compléments d'information... ^^)

tize
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par tize » 14 Jan 2008, 13:31

Si tu cherches d'autres exemples d'espace de Baire je ne vais pas te dire grand chose car souvent dans la pratique on montre qu'un espace est complet ou alors localement compact pour montrer qu'il est de Baire.
Ce qui est intéressant avec cette notion ce sont justement les applications de ce Théorème de Baire, on peut s'en servir pour montrer :
le Théorèmes de l'application ouverte, du graphe fermé, de Banach-Steinhaus;
on peut aussi montrer grâce à cela que l'ensemble des fonctions de dont la série de Fourier diverge en tout point rationnel est dense dans
ou encore que l'ensemble des fonctions de monotone sur un sous intervalle (différent d'un singleton) de [a;b] est d'intérieur vide; il en est de même des fonctions possédant une dérivée à droite finie...
Il ne faut pas oublier qu'un espace de Baire n'est pas forcément complet, d'ailleurs on peut montrer que dans tout espace de Banach de dimension infinie il existe un sous espace qui est de Baire mais pas complet (à l'aide d'une base algébrique)

ThSQ
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par ThSQ » 14 Jan 2008, 20:28

Cestmoikmille a écrit: et \ ne sont ni ouverts ni fermés dans !!

merci tize :++:

(je ne dis pas non aux compléments d'information... ^^)


Aussi étonnant que ça paraisse R \ Q (les irrationnels) est de Baire !

tize
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par tize » 14 Jan 2008, 21:34

ThSQ a écrit:Aussi étonnant que ça paraisse R \ Q (les irrationnels) est de Baire !

Intéressant...aussi étonnant (ou pas) que ça paraisse, je ne l'ai jamais montrer...ou alors il y a longtemps (ou alors j'ai oublié ...pour ceux qui aiment Brel) ça remonte à loin pour moi...
Je vais voir ça tout de suite, merci.

renebaire
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ce sont des espaces utiles

par renebaire » 02 Fév 2008, 19:32

Salut Cestmoikmille,

Dans ton message tu cites la boite à Baire, et je pense que c'est un début d'explication : il faut comprendre le lemme de Baire comme un formidable outil (c'est d'ailleurs pour cela que certaines personnes l'appellent "lemme" et non "théorème"). C'est donc à travers ses nombreuses applications que tu pourras comprendre ce qu'est un espace de Baire.

Un espace de Baire est un espace dans lequel les choses se passent bien (le lemme de Baire s'applique). L'une des raisons est que les fermés d'intérieur vide se comportent comme des ensembles de très petite taille (comme les parties de mesure nulle dans un espace mesuré), en particulier, même si tu fais une union dénombrable de telles parties, ca ne pourra pas exploser (ca va rester d'intérieur vide). Au contraire, dans un espace qui n'est pas de Baire, un ensemble dénombrable de fermés d'intérieur vide peuvent unir leurs forces et former une partie d'intérieur non vide.

Par exemple, dans un espace de Baire, il est facile de montrer l'existence d'éléments ayant une certaine propriété P qui est la conjonction d'une infinité dénombrable de propriétés P_n faciles a vérifier isolément (P = "P_1 et P_2 et P_3 et ..."). Si l'ensemble des points qui verifient P_i contient un ouvert dense de ton espace, alors l'ensemble des points vérifiant P sera dense (par intersection dénombrable) et en particulier non vide. Tu n'as pas eu besoin de construire un élément particulier vérifiant la propriété P, le lemme de Baire s'en est chargé pour toi.


Si ces choses-là t'intéressent, je te conseille très vivement la lecture du livre

J. C. Oxtoby, Measure and Category, Springer-Verlag, 1980, second edition.

Ciao,
René Baire

 

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