Espace Tangent de SO(n)

[klaus2010]

Bonsoir a tous,
J'ai lu dans un livre que l'espace tangent de SO(n) (Special orthogonal Group) est l'espace de matrice Antisymétrique.. vous avez al démonstration de la phrase précédente.
merci d'avance !

[Ben314]

Bonsoir a tous,
J'ai lu dans un livre que l'espace tangent de SO(n) (Special orthogonal Group) est l'espace de matrice Antisymétrique.. vous avez al démonstration de la phrase précédente.
merci d'avance !

Attention : l'espace tangent de SO(n) au point In est l'espace de matrice Antisymétrique (ailleurs qu'en In, c'est faux)

Une "méthode standard" consiste à étudier l'applicacion car .
Plus précisément, il faut calculer la différentielle de au point pour avoir le résultat.

Une autre méthode, plus technique, mais qui ouvre de "nouveaux horizons" est de montrer que les matrices de SO(n) sont trés précisément les exponentielles des matrices antisymétriques.

[klaus2010]

oui tu as raison pardons moi.. Je vais essayer de faire ce que tu as dit et je vais répondre
merci Ben !!

[barbu23]

Attention : l'espace tangent de SO(n) au point In est l'espace de matrice Antisymétrique (ailleurs qu'en In, c'est faux)

Une "méthode standard" consiste à étudier l'applicacion car .
Plus précisément, il faut calculer la différentielle de au point pour avoir le résultat.

.

la differentielle de en est :


Donc il est clair que la differnetielle est :
et ça : est un petit tau de
:happy3:

[Ben314]

la differentielle de en est :


Donc il est clair que la differnetielle est :
et ça : est un petit tau de
:happy3:

Oui, c'est exactement ça.
Aprés, l'idéal c'est d'avoir un petit "bagage" en géométrie différentielle (inversion locale et/ou fonction implicite et/ou lemme de l'immersion et/ou lemme de la submersion) pour conclure.

D'ailleurs, si on veut pas être em..., il faut aussi prendre comme espace d'arrivé pour l'espace des matrices symétriques et pas comme je l'ai écrit dans mon premier post (de façon à ce que la différentielle de en soit surjective)

[barbu23]

de façon à ce que la différentielle de en soit surjective

ça veut dire que est point critique de :happy3:

[klaus2010]

Oui, c'est exactement ça.
Aprés, l'idéal c'est d'avoir un petit "bagage" en géométrie différentielle (inversion locale et/ou fonction implicite et/ou lemme de l'immersion et/ou lemme de la submersion) pour conclure.

D'ailleurs, si on veut pas être em..., il faut aussi prendre comme espace d'arrivé pour l'espace des matrices symétriques et pas comme je l'ai écrit dans mon premier post (de façon à ce que la différentielle de en soit surjective)

Désolé mais pour conclure Je vois bien que les matrices Antisymétriques s’annulent la différentiel de
\phi ... donc comment ce sera la conclusion finale ..
merci

[Ben314]

Ben aprés,... tout dépend de la définition (et des propriétés) que tu as de ce qu'est un "espace tangent" à une variétée.
Il y a un théorème (il me semble que c'est le lemme de la submersion...) qui te dit que, si tu as une fonction phi entre R^n et R^m qui est de classe C1 et telle que la différentielle de phi en un certain point xo de R^n est surjective alors M={x de R^n tels que f(x)=f(xo)} est une variétée de diension n-m au voisinage de xo et dont l'espace tangent est le noyau de la différentielle de phi en xo.

Si tu as vu ce théorème, c'est plié vu que tu vient de voir que le noyau de la différentielle en Id, c'est l'ensemble des matrices antisymétriques.

Tu as vu quoi concernant les variétés et les espaces tangents ?

[klaus2010]

Ben aprés,... tout dépend de la définition (et des propriétés) que tu as de ce qu'est un "espace tangent" à une variétée.
Il y a un théorème (il me semble que c'est le lemme de la submersion...) qui te dit que, si tu as une fonction phi entre R^n et R^m qui est de classe C1 et telle que la différentielle de phi en un certain point xo de R^n est surjective alors M={x de R^n tels que f(x)=f(xo)} est une variétée de diension n-m au voisinage de xo et dont l'espace tangent est le noyau de la différentielle de phi en xo.

Si tu as vu ce théorème, c'est plié vu que tu vient de voir que le noyau de la différentielle en Id, c'est l'ensemble des matrices antisymétriques.

Tu as vu quoi concernant les variétés et les espaces tangents ?

D'abord merci pour la réponse. En fait ça fait pas mal de temps que j'ai suivi un cours de Géométrie différentiel. Je cherche des références (pas trop compliques et efficace) parce que je trouve que
les livres avec bcq de la théorique et un peu des exemple... et pour ça j'ai un pb de faire le lien entre
les exorcises et la théorique... Je te remercie si tu connais un titre concernant les variété .
merci

[Ben314]

Ben, les bouquin que tout le monde cite, il me semble que c'est le "Berger Gostiaux" et le "Rouvière", sinon je connais aussi celui de Jean-Yves Le Dimet (là c'est un peu du fayottage, c'est un ancien collégue...)

[klaus2010]

Bonsoir concernant tjs les sous variétés, si on a l'ensemble V de R^2 qui vérifie x^2 - y^2 =0
Donc pour voir si elle est lisse au point (0,0) de dim 1, on doit trouver un diffeo F d'un vois. de
(0,0 ) dans R^2 sur le vois. ouvert F(U) de (0,0) ds R^n, qui transforme V en un sous-espace vect. de dim 1 i.e

F(U \cap V)= R \times {0} \cap F(U)

Je comprends pas pourquoi on ne peux pas trouver un homeo entre U \cap V et une intervalle qui contient le zero... bon Je sais que le homeo doit être bij continue et a une inverse continue, en plus elle a une propriété qui garde l'ensemble connexe et dans notre cas U \cap V consiste de 4 ensembles connexes(en excluant le (0,0) ). et l’arrive il n'y a que deux ensembles connexes (en excluant le (0,0))

vous pouvez me clarifier ce point ?
.

[Ben314]

J'ai pas tout compris de la question...
Ce qu'il y a de sûr, c'est que l'ensemble V des (x,y) tels que x²-y²=0, c'est la réunion des droites y=x et y=-x et il semeble assez clair que ce n'est pas une variété au voisinage de 0.

Aprés, l'argument que tu donne consistant à regarder le nombre de composantes connexes que l'on a lorsque l'on enlève (0,0) d'un petit voisinage U de (0,0) me semble parfaitement cohérent.

Donc je le (re)dit : je comprend pas bien où est ce que tu as un problème...