Pour :
On a :
Mais, je comprends pas porquoi il faut calculer l'image de :
Merci d'avance de vos reponses !
Espace tangent !
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par barbu23 » 11 Fév 2009, 16:36
D'accord, R.C. et merci pour ces précisions :
Pour : \in ( \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{\sqrt{2}}{2} ) $)
, la matrice Jacobienne est : } = \begin{pmatrix} - \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{pmatrix} $)
On a :}^{-1} = - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \sqrt{2} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} $)
Mais, je comprends pas porquoi il faut calculer l'image de : $)
par cette matrice ?
Merci d'avance de vos reponses !
Pour :
On a :
Mais, je comprends pas porquoi il faut calculer l'image de :
Merci d'avance de vos reponses !
par barbu23 » 11 Fév 2009, 18:15
Re-Bonjour :
Définition :
Soit :
une sous variété de : 
de dimesnion : 
de classe : 
.
Soit :
Soit :
un vosinage ouvert de 
.
Soit :
une submersion de classe : 
tels que :  = 0 $)
et  $)
.
Alors :
.
Question :
J'essaye d'appliquer cette définition à un exemple concret pour mieux la saisir dans ma tête ... Est ce que vous pouvez m'expliquer comment ?
Merci infiniment !
Définition :
Soit :
Soit :
Soit :
Soit :
Alors :
Question :
J'essaye d'appliquer cette définition à un exemple concret pour mieux la saisir dans ma tête ... Est ce que vous pouvez m'expliquer comment ?
Merci infiniment !
par barbu23 » 11 Fév 2009, 18:29
Je fais un petit "up" de ce topic pour voir si quelqu'un a une réponse !
Merci infiniment !
Merci infiniment !
par Doraki » 11 Fév 2009, 19:28
barbu23 a écrit:D'accord, R.C. et merci pour ces précisions :
Pour :
On a :
Mais, je comprends pas porquoi il faut calculer l'image de :
Merci d'avance de vos reponses !
La définition dit que l'espace tangent est l'image réciproque par df, (= l'image par J^-1 que tu viens de calculer) du sous espace R*{0}, c'est à dire le sous espace de R² engendré par l'image de (1,0).
(je sais pas pourquoi tu passes ton temps à l'oublier)
Maintenant, l'image de (1,0) par J^-1 c'est (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2), et donc finalement,
ton espace tangent c'est le sous espace T = {(x,-x)} de R².
Il se trouve qu'en choisissant n'importe quel autre f, on obtient donc pas forcément la même matrice, mais toujours le meme espace tangent au point A = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2) (ben sinon ça serait une mauvaise définition)
Si tu traces le cercle, le point A, et que tu regardes le sous espace affine A + T, tu obtiens la droite tangente au cercle en A, et c'est bien pourquoi on appelle ça espace tangent.
par Doraki » 11 Fév 2009, 19:36
Pour ton autre "définition",
on prend le meme cercle, le meme points x = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2), le même ouvert U,
Et on prend la submersion f : R² -> R, (x,y) -> x²+y²-1.
Alors tu peux vérifier que c'est une submersion C1 qui vérifie les hypothèses,
et tu peux recalculer l'espace tangent en x en utilisant cette autre "définition", et vérifier que t'obtiens la même chose.
on prend le meme cercle, le meme points x = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2), le même ouvert U,
Et on prend la submersion f : R² -> R, (x,y) -> x²+y²-1.
Alors tu peux vérifier que c'est une submersion C1 qui vérifie les hypothèses,
et tu peux recalculer l'espace tangent en x en utilisant cette autre "définition", et vérifier que t'obtiens la même chose.
par barbu23 » 11 Fév 2009, 19:52
Doraki a écrit:La définition dit que l'espace tangent est l'image réciproque par df, (= l'image par J^-1 que tu viens de calculer) du sous espace R*{0}, c'est à dire le sous espace de R² engendré par l'image de (1,0).
(je sais pas pourquoi tu passes ton temps à l'oublier)
Maintenant, l'image de (1,0) par J^-1 c'est (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2), et donc finalement,
ton espace tangent c'est le sous espace T = {(x,-x)} de R².
Il se trouve qu'en choisissant n'importe quel autre f, on obtient donc pas forcément la même matrice, mais toujours le meme espace tangent au point A = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2) (ben sinon ça serait une mauvaise définition)
Si tu traces le cercle, le point A, et que tu regardes le sous espace affine A + T, tu obtiens la droite tangente au cercle en A, et c'est bien pourquoi on appelle ça espace tangent.
:lol5:
JE comprends le raisonnement que tu viens de m'écrire, mais pas complètement .. nous , on a :
Et désolé de te deranger beaucoup cette fois çi Doraki " ! Merci en tous cas ! :we:
Amicalement !
par Doraki » 11 Fév 2009, 20:03
p = 1 = la dimension de la variété
Le cercle est localement homéomorphe à R donc p=1.
Dans le cas général f doit vérifier f (U inter M) = V inter (R^p * {0}^(n-p) ;
et l'espace tangent à M en x est l'image réciproque de R^p * {0}^(n-p) par df au point x
Le cercle est localement homéomorphe à R donc p=1.
Dans le cas général f doit vérifier f (U inter M) = V inter (R^p * {0}^(n-p) ;
et l'espace tangent à M en x est l'image réciproque de R^p * {0}^(n-p) par df au point x
par barbu23 » 11 Fév 2009, 20:07
Ah d'accord, c'est vrai !
Pour les indications que tu viens de m'écrire sur la dernière question que j'ai posté ! je vais t'écrire la reponse tout de suite por que tu me corriges !
Et merci infiniment "Dokari" ! :++: :we:
Pour les indications que tu viens de m'écrire sur la dernière question que j'ai posté ! je vais t'écrire la reponse tout de suite por que tu me corriges !
Et merci infiniment "Dokari" ! :++: :we:
par barbu23 » 11 Fév 2009, 20:48
Soit :  = ( \frac{\sqrt{2}}{2}} , \frac{\sqrt{2}}{2}} ) \in U = \mathbb{R}^{2} - \{ \mathbb{R}^{-1} \times \{ 0 \} \} $)
Soit :
 \longrightarrow x^{2}+y^{2}-1 $)
On a :
 \hspace{10cm} : \hspace{10cm} \begin{pmatrix} h_{1} \\ h_{2} \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} \frac{\partial x^{2}+y^{2}-1}{\partial x}( \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{\sqrt{2}}{2} ) & \frac{\partial x^{2}+y^{2}-1}{\partial y}( \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{\sqrt{2}}{2} ) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_{1} \\ h_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_{1} \\ h_{2} \end{pmatrix} $)
Dnc le rang de la matrice est
, donc : } $)
est surjectif, et donc : 
est une submersion !
On a aussi : = 0 $)
( évident )
 = \mathbb{S}^{2} \cap (\mathbb{R}^{2} - \{ \mathbb{R}^{-} \times \{ 0 \}) = \mathbb{S}^{2} - \{ (-1,0) \} $)
( A ce niveau là, on a pas vraiment : :hein: , je sais pas si celà change quelque choses ou c'est quelques chose de banale )
Alors :
}\mathbb{S}^{2} = \ker \hspace{10cm} df_{( \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{\sqrt{2}}{2} )} = \{ \begin{pmatrix} h_{1} \\ h_{2} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2} \hspace{10cm} | \hspace{10cm} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_{1} \\ h_{2} \end{pmatrix} = 0 \} = \{ \begin{pmatrix} h_{1} \\ h_{2} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2} \hspace{10cm} | \hspace{10cm} h_{1} + h_{2} = 0 \} = \mathbb{R} (1,-1) $)
ça va comme ça ?
Amicalement ! :dodo: :we:
Soit :
On a :
Dnc le rang de la matrice est
On a aussi :
Alors :
ça va comme ça ?
Amicalement ! :dodo: :we:
par barbu23 » 11 Fév 2009, 21:32
Re-Bonsoir :
J'aimerais faire la même chose pour la définition suivante :
Définition :
Soit
une sous variété de 
.
Soit :
:
Soit :
un voisinage de 
dans 
:
Soit :
un voisinage de 
:
Soit :
une application de classe : tels que :  $)
et ) $)
.
Alors :
) \} $$)
Merci d'avance de votre aide !
J'aimerais faire la même chose pour la définition suivante :
Définition :
Soit
Soit :
Soit :
Soit :
Soit :
Alors :
Merci d'avance de votre aide !
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