Espace quotient

[Sylvain200]

Bonjour,
Je voudrais savoir quel est l'utilité de faire le quotient d'un espace par une relation d'équivalence? et quand doit-on faire ça?
pour bien comprendre on prend par exemple les espaces qui sont

où est la relation d'équivalence définie par f~g signifie que f=g presque partout.

[lionel52]

Le principal problème de l'espace c'est que

n'est pas une norme (cette expression peut valoir 0 pour des fonctions nulles sauf en certains points) mais une "semi norme"
Donc pour faire de l'analyse fonctionnelle c'est pas top...

En faisant l'espace quotient, tu supposes que les fonctions égales presque partout sont égales dans et du coup tu te retrouves vraiment avec une norme et tu peux ainsi faire de l'analyse fonctionnelle

[Sylvain200]

OK je suis d'accord avec vous que la quantité que vous avez mentionné n'est pas une norme puisque

||f||= 0 ne donne pas que f=0 (elle donne juste f=0 presque partout.)

Mais j'ai pas compris pourquoi cette quantité sera une norme sur L^p?

De plus je comprends pas aussi cette phrase que je la trouve dans plusieurs références " On peut confondre un

élément de L^p avec un un représentant?? Que veut-dire ça? (bien sur mathématiquement )

A-t-on toujours le droit de confondre une classe d'équivalence avec un représentant?

Finalement pour montrer que , que dois-je montrer? ? ou quoi?

[capitaine nuggets]

Salut !

- est une semi-norme dans le sens où elle vérifie tous les axiomes d'une norme sauf une : la séparation ( implique ). En fait, l'ensemble des fonctions de vérifiant sont toutes les fonctions nulles presque partout. Donc l'idée pour avoir " implique ", consiste à "rassembler" ou "confondre" toutes ces fonctions comme si elles étaient les mêmes grâce à une relation d'équivalence : celle d'être égal presque partout.

- En théorie, les éléments de sont des fonctions alors que les éléments de sont des ensembles de fonctions : si alors la classe d'équivalence de dans est l'ensemble de toutes les fonctions telles que presque partout. Autrement dit : , et on dit alors que un représentant de .

Ainsi, pour s'alléger de notations, on travaillera toujours sur , mais au lieu de noter à chaque fois une classe d'équivalence de fonctions, on prendra un de ses représentant : , et on le manipulera comme si on était dans .

- En général non, je ne pense pas : tu ne confonds pas dans et sa classe dans .

- Ca c'est par définition : montrer que revient à montrer que

[Sylvain200]

Salut !

- est une semi-norme dans le sens où elle vérifie tous les axiomes d'une norme sauf une : la séparation ( implique ). En fait, l'ensemble des fonctions de vérifiant sont toutes les fonctions nulles presque partout. Donc l'idée pour avoir " implique ", consiste à "rassembler" ou "confondre" toutes ces fonctions comme si elles étaient les mêmes grâce à une relation d'équivalence : celle d'être égal presque partout.

- En théorie, les éléments de sont des fonctions alors que les éléments de sont des ensembles de fonctions : si alors la classe d'équivalence de dans est l'ensemble de toutes les fonctions telles que presque partout. Autrement dit : , et on dit alors que un représentant de .

Si je me rappelle bien, [f]=[g] si et seulement si f est en relation avec g càd si et seulement si f=g presque partout.
C'est bien ça?
Donc si || F ||= || f || =0, alors f=0 presque partout et donc F=[0]=0 (avec f est un représentant de F)

Et par suite la quantité || || est bien une norme.

- Ca c'est par définition : montrer que revient à montrer que

[/quote]

En fait pour montrer que F (qui est une classe d'équivalence) est dans L^p, on montre que avec f est un représentant de F.

C'est bien ça?

[capitaine nuggets]

On te dit qu'à l'avenir on ne fera pas de distinction entre une fonction et sa classe dans . Ainsi, on manipulera des comme si c'était des .

Montrer que revient à montrer que est fini.