Bonjour,
Soient
et
deux espaces topologiques quelconques et
une application telle que :
 = f(x_2 ) $)
.
est une relation d'équivalence.
induit une application :
telle que :
avec :
.
1 ) Montrer que l'ensemble des parties
telles que
 $)
est un ouvert de
est une topologie sur
vérifiant la propriété universelle suivante :
est continue si et seulement si
est continue.
2 ) Montrer qu'un topologie sur
vérifiant la propriété universelle précédente est nécessairement celle introduite dans la question 1 ).
Voici ce que j'ai fait :
1 ) On pose :
 \text{ est un ouvert de} \ X \} $)
Montrons que
est une topologie.
-
 $)
est un ouvert de
, donc
car
 = X $)
est un ouvert de
.
- Soient
, alors :
 $)
et
 $)
sont deux ouvert de
Par conséquent :
 = v^{-1} ( V_1 ) \bigcap v^{-1} ( V_2 ) $)
est un ouvert de
.
donc :
- Soient
_{i \in I} \subset U $)
, alors :
 $)
est un ouvert de
.
Par conséquent :
 = \displaystyle \bigcup_{i \in I} v^{-1} ( V_i ) $)
est un ouvert de
.
Donc :
Par conséquent :
est une topologie sur
Soit
est continue
un ouvert de
:
 $)
est un ouvert de
 = ( \overline{f} \circ v )^{-1} ( V ) $)
est un ouvert de
( d'après la définition de la topologie quotient )
 = ( \overline{f} \circ v )^{-1} ( V ) $)
est un ouvert de
est continue.
Pouvez vous m'aider pour la question 2 ?
Merci infiniment. :happy3:
