Espace projectif privé d'hyperplans

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

Espace projectif privé d'hyperplans

par Nightmare » 03 Mar 2009, 18:00

Bonjour :happy3:

Je m'intéresse au problème suivant :

On considère l'espace projectif complexe auquel on retire hyperplans où les sont des formes linéaires linéairement indépendantes.

Je voudrais démontrer que n'est pas holomorphe à cet espace
.

J'arrive à le faire rapidement dans le cas de la sphère de Riemann mais pas la généralisation...

Pour le contexte, je travaille sur les surfaces de Riemann hyperboliques (ie biholomorphes au demi-plan de Poincaré).

Si vous aviez des idées... merci :happy3:



Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 03 Mar 2009, 20:03

Pas d'idées?

barbu23
Membre Transcendant
Messages: 5466
Enregistré le: 18 Fév 2007, 19:04

par barbu23 » 03 Mar 2009, 20:07

J'aurai aimé t'aider mais sincèrement je ne sais pas ! :hum: :happy2:

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 03 Mar 2009, 20:14

Tant pis, merci quand même :happy3:

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 03 Mar 2009, 20:22

Je ne sais pas si ça aide, mais j'ai prouvé auparavant que privé de deux points était hyperbolique.

En effet, d'après le théorème de Poincaré, le revêtement universel d'une surface de Riemann est soit biholomorphe à la sphère de Riemann, soit isomorphe au plan complexe, soit biholomorphe au demi-plan de Poincaré.
Or, en vertu de la non compacité et de la non connexité simple du plan complexe privé de deux points, il ne peut être ni biholomorphe à la sphère de Riemann, ni isomorphe au plan complexe donc il est forcément biholomorphe au demi-plan de Poincaré.

J'ai l'impression cependant que ça ne sert à rien pour mon "exercice"...

R.C.
Membre Relatif
Messages: 134
Enregistré le: 22 Nov 2008, 12:37

par R.C. » 03 Mar 2009, 22:39

Bonjour,

J'ai dû mal comprendre le problème, mais quand tu enlève des hypersurfaces à une variété tu obtiens un truc de la même dimension. Donc je vois pas comment C pourrait être biholomorphe à ce que tu obtiens.
Ah en fait je pense que je viens de comprendre : il faut lire C^n. Bon mais là encore, c'est pas très compliqué : si tu enlève un hyperplan tu te retrouve avec C^n, et si tu continue à en enlever, tu change la topologie (connexité par ex...).

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 04 Mar 2009, 01:39

Non c'est bien , et on parle d'holomorphisme et pas de biholomorphisme ici.

Ensuite on ne retire pas les hyperplans de façon aléatoire, les formes linéaires sont libres, je pense que c'est important !

R.C.
Membre Relatif
Messages: 134
Enregistré le: 22 Nov 2008, 12:37

par R.C. » 04 Mar 2009, 11:01

J'ai deux questions pour essayer de mieux comprendre le problème :
- Qu'est-ce que ça veut dire ne pas être holomorphe à C ?
- Ces formes linéaires sont elles complexes (je ne pense pas mais bon..) ou réelle (et à ce moment là je ne comprends pas très bien parce que l'hyperplan réel dans C^(n+1) se projette de façon assez horrible sur l'espace projectif) ?

Question subsidiaire : Est-ce que tu peux expliquer comment tu as procédé pour la sphère de Riemann ?

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 04 Mar 2009, 15:58

1) Cela veut dire qu'il n'existe pas d'application holomorphe (sauf peut être constante) de dans notre espace

2) Oui, les formes linéaires sont complexes,

3) Pour la sphère de Riemann c'est un peu long mais j'utilise un théorème Borel sur les unités holomorphes et après je montre que si on prend une application holomorphe du plan dans son compactifié qui évite mes 3 hyperplans alors son image est de dimension nulle.

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 04 Mar 2009, 19:01

C'est bon, problème résolu, j'ai réussi à généraliser. J'étais parti dans la mauvaise direction !

R.C.
Membre Relatif
Messages: 134
Enregistré le: 22 Nov 2008, 12:37

par R.C. » 04 Mar 2009, 19:43

Ahhhh, ne nous laisse pas sur notre faim et dis-nous comment tu t'y prends !!!!

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 04 Mar 2009, 20:02

Comme pour la sphère de Riemann.

Voila en gros les étapes de la démo :

Je note holomorphe et où les sont mes formes linéaires linéairement indépendante dont les hyperplans en sont les noyaux et les les coordonnées projectives de f.

Je définie aussi (ce n'est pas mon idée) la relation d'équivalence

a) Je montre qu'il y a au plus 1 classe d'équivalence

b) Je considère les applications et .

Je montre que l'image de la composée est de dimension au plus 1.

c) En passant au quotient dans l'espace projectif, on a que l'image de f est de dimension nulle.


 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Qoosmo et 20 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite