Espace Complet

[Ellhaym]

Bonjour à vous :we:

Voilà, il y a une méthode pour prouver qu'un espace est complet que je rencontre assez souvent mais que je ne comprends pas

Soit B l’ensemble des fonctions born ees : R R, muni de la distance f,g B,d(f,g) = supx;)R|f(x) g(x)|.

a. Montrer que B est complet.

Pour la question a , le corrigé est :

Montrons que (B, d;)) est complet. Soit (fn)n;)N une suite de Cauchy dans (B, d;)) :
o;)>0,;)N N,;)q;)p;)N,d;)(fp,fq) 0,;)N N,;)q p N, |fp(x) fq(x)| 0,;)N N,;)p N, |fp(x) f(x)| < o;) (**)
d’ou`, en particulier,
x R, |f (x)| |f (x) fN (x)| + |fN (x)| o;)+ |fN (x)|,
ce qui prouve que f est born ee sur R.
De plus, (**) signifie pr ecisement limn;);) d;) (fp , f ) = 0, i.e. la suite (fn ) converge
vers f dans (B,d;)).

Si quelqu'un pouvait m'expliquer la logique globale de la réponse ça serait gentil :we:

[Nightmare]

Salut,

le principe repose sur le fait que la distance d entre deux fonctions bornées f et g est définie à partir d'une distance, celle associée à la valeur absolue, entre leurs images. Plus précisément d(f,g) est la plus grand de ces distances :

où .

Bon, en fait je suis parti dans une grande explication mais on me harcèle pour que je quitte le PC donc je continuerai plus tard, en attendant essaye de réfléchir à ce que je viens de dire juste au dessus qui est le point clé pour comprendre la démo.

[cuati]

Bonsoir,
si alors pour tout fixé on a aussi ce qui veut bien dire que est une suite de Cauchy dans .
L'idée générale est la suivante :
1. On montre que la suite de fonction converge simplement vers une fonction .
2. On montre que cette fonction .
3. On montre que pour la distance du sup. La suite de Cauchy converge donc ! Autrement dit (B,d) est complet.

[Ellhaym]

Merci, je crois comprendre, mais quand vous dites que la suite est de cauchy sur R, vous sous entendez pour la distance usuelle non?
Et si jamais on ne trouve pas d'espace sur lequel construire une suite de cauchy ayant une limite, comment fait on? Est il tout de meme possible de prouver qu elle converge tout de meme dans l espace métrique de départ?

[cuati]

Oui, ici la suite est de Cauchy dans pour la norme usuelle (la valeur absolue) et c'est cela qui nous intéresse puisque les fonctions sont à valeurs dans . On se raccroche presque toujours à un espace dont on sait qu'il est complet ! Et on le sait pour (on peut même considérer qu'il est construit comme cela). Ton exemple est assez particulier, on ne montre pas toujours qu'un espace est complet de cette manière mais assez souvent quand même, par exemple des espaces de suites à valeurs réelles.
Une autre méthode consiste à montrer que l'espace en question est un sous ensemble fermé d'un espace plus grand dont on sait qu'il est complet et de conclure en disant qu'un fermé dans un complet est complet...

[Ellhaym]

Ok, merci beaucoup :we: