Espace complet

[izoard]

Bonjour,
soit

Soit l'espace:


On le munit de la norme

Comment montrer qu'il est complet ??

Je prends une suite de Cauchy de Y
A fortiori c'est une suite de cauchy de car
Comme est complet , il existe tq tende vers u dans

Mes problèmes :
1)je n'arrive pas à montrer que

2)je n'arrive pas à montrer que la convergence à lieu pour

Merci d'avance

[L.A.]

Bonjour.

Je n'ai pas la solution, mais l'idée je pense est d'utiliser le fait que la suite de Cauchy est bornée dans Y pour majorer ||u||_Y, ou de dire que u_n -> u dans L^2 => il existe une sous suite convergent presque partout simplement vers u, et utiliser la convergence dominée.

[Arkhnor]

Bonsoir.

L'idée de L.A. d'extraire une sous-suite convergent presque partout est la bonne; il me semble juste que pour pouvoir appliquer le théorème de convergence dominée, il manque a priori une hypothèse de domination. A la place, j'appliquerai plutôt le lemme de Fatou pour majorer la norme de u dans Y.

Une autre méthode plus rapide si on connaît un peu de théorie de la mesure consiste à remarquer que Y n'est rien d'autre que l'espace associée à la mesure absolument continue par rapport à Lebesgue dont la densité est donnée par .

[izoard]

Bonsoir et merci à tous les deux ;

je considere donc ma sous suite qui converge presque partout vers u .

J 'ai donc

Or d'après le lemme de fatou


Donc


Mais que dois je faire après ???

[Arkhnor]

Comme la suite est de Cauchy dans Y, elle est bornée dans Y, donc ta limite inférieure est finie.

En passant, tu as travaillé avec la norme dans Y au carrée; ce qui n'est pas gênant, mais ça doit être corrigé.

[izoard]

OK . D'accord .

La fin de ma demo est elle correcte




Alors
, sachant qu'à la limite la condition est automatiquement vérifiée, il vient que