Espace de Baire

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
barbu23
Membre Transcendant
Messages: 5466
Enregistré le: 18 Fév 2007, 19:04

Espace de Baire

par barbu23 » 11 Nov 2010, 14:31

Bonjour à tous,
Je bloque sur une moitié de questions de l'exo suivant, le voiçi :
Soit un epsace topologique.
Montrer que les deux asertions suivantes sont equivalentes :
- Pour toute suite de fermés d'interieur vide : est d'interieur vide.
- Pour toute suite d'ouverts denses dans :
On dit alors que est un espace de Baire.
- Montrer que tout ouvert d'un espace de Baire est un espace de baire.
On veut montrer que ( muni de la topolgie usuelle ) est de Baire.
Soit une suite d'ouverts denses dans et
- Montrer que est dense dans si tout intervalle rencontre
- Soit . Montrer qu'il existe tels que et
- Montrer qu'il existe deux suites et telle que et pour
- En deduire que

Merci d'avance. :happy3:



Finrod
Membre Irrationnel
Messages: 1944
Enregistré le: 24 Sep 2009, 12:00

par Finrod » 11 Nov 2010, 15:02

Le première question découle des définitions: on montre facilement que le complémentaire d'un fermé d'intérieur vide est un ouvert dense.

La seconde question se fait avec les ouverts.

Pour la question suivante, j'aurai tendence à dire qu'il faut prendre un voisinage de b dans , comme on prend des voisinages de l'infini dans R.
Cela dit, je n'ai jamais fait ça pour un autre point que l'infini avant (b n'est pas dans l'ouvert, alors prendre un voisinage de b peut paraitre bizarre)

...
mais oui c'est bon, la base d'ouvert contient bien ce type de voisinage puisqu'il s'agit de la topologie induite sur l'ouvert

edit : ah non c'est qu'il faut trouver. ça me semble simple du coup (et moins louche puisque le voisinage de b yavais peu ed chance de le faire rentrer dans )

Donc prendre un point d', prendre la partie connexe de ce point puis une boule le contenant, dans la partie connexe, que l'on retréciera pour avoir le rayon demandé.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 20442
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 11 Nov 2010, 15:25

Fait gaffe que la fin de l'exo est foireux : il faut, dans la construction de et des montrer qu'on peut les prendre de façon à ce que et où l'intervalle de gauche est fermé (sinon, tu ne risque pas de concure vu qu'une intersection décroissante d'ouverts peut trés bien être vide)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

barbu23
Membre Transcendant
Messages: 5466
Enregistré le: 18 Fév 2007, 19:04

par barbu23 » 11 Nov 2010, 16:15

Alors pour la première question :
N.B : On note par le complementaire de dans
Soit une suite d'ouverts tels que
Montrons que
On pose : :
Alors :
Par hypothèse :
c'est à dire :

barbu23
Membre Transcendant
Messages: 5466
Enregistré le: 18 Fév 2007, 19:04

par barbu23 » 11 Nov 2010, 16:16

Comment ecrit -t-on en Latex l'adherence de ?

Merci d'avance. :happy3:

barbu23
Membre Transcendant
Messages: 5466
Enregistré le: 18 Fév 2007, 19:04

par barbu23 » 11 Nov 2010, 16:18

Comment ecrit -t-on en Latex l'adherence de ?
Merci d'avance. :happy3:

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 65 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite