Equivalent

par **tize** » 01 Déc 2006, 16:37

Bonjour,

voilà mon petit problème, c'est peut être simple mais j'avoue ne pas savoir comment commencer...

Pour

, on note

le nombre de diviseurs de

et pour

, on pose

. Je cherche un équivalent de

en

. Auriez vous une idée pour commencer ? Merci.

Je sais que si

avec les

des nombres premiers distincts alors le nombre de diviseurs de

est

par **maturin** » 01 Déc 2006, 16:55

j'aurais tendance à dire :
1 divise x nombre entre 1 et x
2 divise x/2 nombre entre 1 et x
...
x-1 divise x/(x-1) nombre entre 1 et x
x divise x nombre entre 1 et x

donc

enfin c'est assez grossier comme approche

par **tize** » 01 Déc 2006, 17:08

Ok, je comprends ton intuition, je vais essayer avec ton idée ingénieuse, merci beaucoup.

par **yos** » 01 Déc 2006, 21:01

On doit avoir l'égalité

avec la même idée, et on en déduit facilement un encadrement de la somme et le fait que c'est équivalent à

.

par **tize** » 01 Déc 2006, 21:22

Effectivement,
j'étais arrivé à la même conclusion mais de manière beaucoup moins directe...

donc avec

, on a :

et comme

Merci beaucoup à vous deux.

par **serge75** » 01 Déc 2006, 22:24

Les solutions proposées sont toutes excellentes.
Une autre façon de voir le problème est d'interpréter f(x) comme le nombre de points à coordonnées entières sous l'hyperbole d'équation xy=n et x>0.
On est ensuite ramené aux mêmes encadrements.
Serge

par **tize** » 01 Déc 2006, 22:30

serge75 a écrit:Les solutions proposées sont toutes excellentes.
Une autre façon de voir le problème est d'interpréter f(x) comme le nombre de points à coordonnées entières sous l'hyperbole d'équation xy=n et x>0.
On est ensuite ramené aux mêmes encadrements.
Serge

Très Joli ! Merci Serge :we:

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