Equivalent avec n! ...

[dilzydils]

Bonjour

Avec strirling, je montre que
ln(e/n) equivalent à -ln(n!)/n
comment en deduire que e/n equivalent à exp(-ln(n!)/n) ??

Merci

[yos]

remplace n! par .

[Mohamed]

Bonjour

Avec strirling, je montre que
ln(e/n) equivalent à -ln(n!)/n
comment en deduire que e/n equivalent à exp(-ln(n!)/n) ??

Merci

mais c quoi cette ppté de striling?

[tize]

mais c quoi cette ppté de striling?

Bonsoir, c'est ça

[Quidam]

Bonjour

Avec strirling, je montre que
ln(e/n) equivalent à -ln(n!)/n
comment en deduire que e/n equivalent à exp(-ln(n!)/n) ??

Merci

Tu ne peux pas ! Si a est équivalent à b, n'est pas forcément équivalent à !

[sandrine_guillerme]

Salut ,

J'ai dis une bétise .

[tize]

Tu ne peux pas ! Si a est équivalent à b, n'est pas forcément équivalent à !

Il y a néanmoins un cas particulier où ça marche, si a(.)-b(.) tend vers 0 alors on a aussi e^a(.) e^b(.)
Ce qui est bien vérifié ici avec Stirling...

[BQss]

Il y a néanmoins un cas particulier où ça marche, si a(.)-b(.) tend vers 0 alors on a aussi e^a(.) e^b(.)

Oui ce n'est pas valable parce que ici ce se sont des equivalence en +infini.
Quand on fait la difference il reste un terme qui tend vers + infini qui apparait lui dans les devellopement limité, et donc e^(f-g) ---> +infini. et donc e^f/e^g diverge et e^f n'est pas equivalent a e^g car f-g tend vers +infini meme si f equivalent a g.

En fait il suffit que f et g soit fini au point ou l'on cherche l'equivalence.

si f(x)= g(x) + o(g(x)) avec lim f(x)= lim (g(x))= l x-->a :
on a lim ( f(x) - (g(x) ) = lim (f(x)) - lim (g(x) ) = l-l=0.
C'est a dire que dans ces cas la o(g(x)) est forcement une fonction qui tend vers 0 en a et ca donne:
e^(f(x))/e^(g(x))=e^((f-g)(x))=e^(o(g(x)))
o(g)(x) tend vers 0 en a donc comme e^x est continue en 0 e^(o(g(x)) --> e^(0)= en a

et donc:
lim x-->a e^(f(x))/e^(g(x)) =1 et donc e^(f(x)) est equivalent a e^(g(x)) si au point d'equivalence f et g ont une limite fini.

[BQss]

Il y a néanmoins un cas particulier où ça marche, si a(.)-b(.) tend vers 0 alors on a aussi e^a(.) e^b(.)
Ce qui est bien vérifié ici avec Stirling...

Par contre non ce n'est pas verifier ici:

ln(e/n) --> -infini en +infini equivalent à -ln(n!)/n tend vers -infini en +infini (forcement ils sont equivalents) mais ln(e/n) - (-ln(n!)/n) = ln(e/n) + ln(n!)/n
= ln ( e/n + n!^(1/n) )
lim ln ( e/n + n!^(1/n) )= lim [ln (n!^(1/n))]en supposant que n!^(1/n) a une limite
or si a>1 a^n =o(n!) donc (a^n)^(1/n) = o(n!^(1/n)) donc o(n!^(1/n))=a
donc lim n!^(1/n) = +infini

et donc lim ln ( e/n + n!^(1/n) ) = +infini
c'est a dire lim [ ln(e/n) - (-ln(n!)/n) ] = +infini

Ainsi e^(f(x))/e^(g(x))=e^(f(x)-g(x)) --> + infini quand n tend cers +infini et donc
e^(f(x)) n'est pas equivalent a e^(g(x)) si f(x)=ln(e/n) et g(x)=-ln(n!)/n.

On ne peut donc pas faire ce raccourci.

[BQss]

Il y a néanmoins un cas particulier où ça marche, si a(.)-b(.) tend vers 0 alors on a aussi e^a(.) e^b(.)
Ce qui est bien vérifié ici avec Stirling...

Par contre non ici ce n'est pas verifier:

ln(e/n) --> -infini en +infini equivalent à -ln(n!)/n qui tend aussi vers -infini en +infini (forcement ils sont equivalents --> ils ont la meme limite) mais:
ln(e/n) - (-ln(n!)/n) = ln(e/n) + ln(n!)/n
= ln ( e/n + n!^(1/n) )
lim ln ( e/n + n!^(1/n) )= lim [ln (n!^(1/n))]en supposant que n!^(1/n) a une limite
or si a>1 a^n =o(n!) donc (a^n)^(1/n) = o(n!^(1/n)) donc o(n!^(1/n))=a
donc lim n!^(1/n) = +infini

et donc lim ln ( e/n + n!^(1/n) ) = +infini
c'est a dire lim [ ln(e/n) - (-ln(n!)/n) ] = +infini

Ainsi e^(f(x))/e^(g(x))=e^(f(x)-g(x)) --> + infini quand n tend vers +infini et donc
e^(f(x)) n'est pas equivalent a e^(g(x)) si f(x)=ln(e/n) et g(x)=-ln(n!)/n.
Et donc on ne peut pas verifier que e/n equivalent à exp(-ln(n!)/n) car c'est faux, exp(-ln(n!)/n) tend plus vite vers -infini que ln(e/n).

On ne peut donc pas faire ce raccourci.

[tize]

. Donc , de plus il me semble que si et alors (référence ici )

La différence tend vers 0, on peut donc bien passer à l'exponentielle...non ?

[BQss]

. Donc , de plus il me semble que si et alors (référence ici )

La différence tend vers 0, on peut donc bien passer à l'exponentielle...non ?

Si ca temps vers 0, la formule est valable. Pour le calcul je suis d'accord, donc ici on a le droit de passer sous l'exposant de lexponenetiel car f - g tend vers 0 et la demo est faite.
Par contre je suis etonné parce que f et g tendent vers -infini, donc si ca marche en prenant la difference ca veut dire qu'il reste alors un o(1/x^n) n>0. Alors qu'en generale dans les equivalence quand les limites valent +infini ils restent souvent des terme qui tendent vers +infini: exemple: f(x)=x^3+x est equivalent a g(x)=x^3 en + infini mais x^3+x - x^3 = x tend vers +infini donc e^(f(x)-g(x))=e^(x) --> +infini et e^(f(x)) n'est pas equivalent a e^(g(x)).
ce que j'ai indiqué avant c'est alors une condition suffisante mais pas necessaire, la preuve ici, f et g tendent vers -infini et ca marche.

En fait il suffit que f et g soit fini au point ou l'on cherche l'equivalence.

Il suffit mais c'est pas necessaire, du moment que ca tend vers 0 et ici la difference tend bien vers 0...

[yos]

Quand j'ai un doute sur la légitimité d'une opération sur les équivalents, je travaille avec des égalités :
,
donc ,
donc ,
et il est clair que le reste est un o(1) donc a fortiori un .

[Quidam]

Avec strirling, je montre que
ln(e/n) equivalent à -ln(n!)/n
comment en deduire que e/n equivalent à exp(-ln(n!)/n) ??

Tu ne peux pas ! Si a est équivalent à b, n'est pas forcément équivalent à !

Il y a néanmoins un cas particulier où ça marche, si a(.)-b(.) tend vers 0 alors on a aussi e^a(.) e^b(.)
Ce qui est bien vérifié ici avec Stirling...

Désolé, je ne suis pas d'accord. Du fait que "ln(e/n) equivalent à -ln(n!)/n" dilzydils veut déduire que "e/n equivalent à exp(-ln(n!)/n)". Personne n'a dit que "e/n n'est pas equivalent à exp(-ln(n!)/n)". Je me suis contenté de dire qu'il était impossible déduire cela du simple fait que "ln(e/n) equivalent à -ln(n!)/n".

Quant à l'expression "ça marche", cela me paraît quelque peu ambigu ! Si tu veux dire que si a-b tend vers 0 alors e^a est équivalent à e^b, je suis d'accord, car si . Mais l'hypothèse est beaucoup plus forte que l'hypothèse et il me paraît un peu abusif de considérer cela comme un "cas particulier où ça marche".

[tize]

...Mais l'hypothèse est beaucoup plus forte que l'hypothèse et il me paraît un peu abusif de considérer cela comme un "cas particulier où ça marche".

Pourquoi abusif ? C'est quoi alors un cas particulier ?
En fait je ne comprends pas bien où tu veux en venir...c'est sur ma manière de dire les choses (les mots n'étaient peut être pas adéquats) ? ou mon "calcul" est faux ?

Personne n'a dit que "e/n n'est pas equivalent à exp(-ln(n!)/n)"[...] Je me suis contenté de dire qu'il était impossible...

Je sais, j'avais bien compris ta première intervention...et personne n'a dit que tu avais dit que "e/n n'est pas equivalent à exp(-ln(n!)/n)" :we:

[BQss]

Mais l'hypothèse est beaucoup plus forte que l'hypothèse

Evidemment. Qui a dit le contraire. Ce que nous rajoutons c'est si au point d'equivalence a et b on une limite fini(ce n'est pas le seul cas, a-b peut tendre vers 0 sans que a et b aient une limite fini) alors forcement(cf ma demo):
e^a est equivalent a e^b car alors dans a= b+o(b) avec o(b) une fonction neglegeable devant b en a. o(b) tend forcement vers 0 en a car a-b tend vers 0.
Ce qui n'est pas du tout le ca tout le temps exemple 1/x^2 = 1/x^2 + 1/x en 0 par exemple. Ici o(1/x^2)=1/x qui ne tend pas vers 0 en 0 mais vers + infini.
On a ici: o(b)=a-b=1/x --> + infini en 0.

Ce qu'a donc dit tize, c'est que e^a n'est en effet pas en genral equivalent a e^b si a est equivalent a b en x0. Sauf dans le cas ou a-b -->0 en x0 ce qui est bien le cas ici. C'est a dire que nous avons calculé la limite de a-b et elle temps vers 0.
Dans ce cas precis il est donc vrai de dire que e^a est equivalent a e^b car nous avons verifier la propriété a-b tend vers 0 en x0.

Rapidement je redis pourquoi:
Si a-b tend vers 0 alors e^a/e^b=e^(a-b) -->e^0 car a-b tend vers 0 et x-->e^x est continue en 0.
Donc comme e^a/e^b -->0 on a bien e^a equivalent a e^b (par definition). On a juste eu a rajouté une condition qui est a-b -->0, c'est a dire nous somme tout a fait d'accord avec toi, une hypothese plus forte qui se suffit a elle meme, mais a-b tend vers 0 est bien un cas particulier de a equivalent b pour lequel la relation a equivalent a b entraine e^a equivalent a e^b, c'etait le sens de nos interventions, cest a dire que comme c'est le cas ici on peut conclure.

Mais l'hypothèse est beaucoup plus forte que l'hypothèse et il me paraît un peu abusif de considérer cela comme un "cas particulier où ça marche".

si a-b tend vers 0 alors a est equivalent a b et a/b--> 1(en ce sens c'est bien un cas particulier), les fonctions dont la difference tend vers 0 en a est un sous ensemble des fonctions dont le rapport tend vers 1 en a. C'est a dire les fonctions dont la difference tend vers 0 en a est un sous ensemble des fonctions equivalentes en a. En cela a-b tend vers 0 est bien un cas particulier de a equivalent a b puisque que a-b tend vers 0 est un sous cas de a equivalent a b. Ce cas etant complementaire du sous cas ou a equivalent a b mais a-b ne tend pas vers 0(ou n'a pas de limite),

conclusion:
Ce n'est pas un abus de dire que a-b tend vers 0 est un cas particulier de a equivalent a b. Et ceci meme si a-b tend vers 0est evidemment un hypothese plus forte(cet ensemble est inclu dans l'ensemble des fonction equivalente).

[yos]

si a-b tend vers 0 a/b--> 1 les fonctions dont la difference tend vers 0 en a est un sous ensemble des fonctions dont le rapport tend vers 1. C'est a dire les fonctions dont la difference tend vers 0 en a est un sous ensemble des fonctions equivalentes en a. En cela a-b tend vers 0 est bien un cas particulier de a equivalent a b et ce n'est pas un abus de langage de le dire .

sûr? essaie x et x² en 0.

[BQss]

sûr? essaie x et x² en 0.

x^2-x ne tend pas vers 0 en a mais vers a-a^2.
Pour 0 on a:
x^2 qui n'est meme pas equivalent a x (x/x^2 tend vers +infini en 0) donc par voie de consequence a-b ne tend pas vers 0 en 0 non plus(evidemment que si.

Edit merci Yos . Je raisonnais encore comme si mon inclusion etait juste sans avoir fait gaf que ton exemple le contredisait bien, il faut rajouter une condition que je donne plus bas.

[yos]

Que me chantes-tu là?
En 0 :x-x² tend vers 0 et pourtant x n'est pas équivalent à x². Cela ne contredit-il pas ton précédent message?

[BQss]

Que me chantes-tu là?
En 0 -x² tend vers 0 et pourtant x n'est pas équivalent à x². Cela ne contredit-il pas ton précédent message?

oui j'ai dis que ca marchait mais pour la mauvaise raison:
x^2/x=x tend vers 0 en 0 et on a bien x^2-x qui tend vers 0 en 0 aussi donc pas de probleme( si si il y a un probleme l'inclusion ne marche plus, le cas ou la limite commune vaut 0 est un cas qu'il faut traiter a part, dans ce cas la relation a-b tend vers 0 --> a/b tend vers 1 est fausse).

Tu viens de trouver un cas ou a/b tend vers 0 mais b/a ne tend pas vers 0 lol c'est tout( ce qui revient a dire un cas ou a/b et b/a n'ont pas la meme limite, dans ce cas necessairement a et b tendent vers 0 ou l'infini et on ne peut pas conclure sur la forme indeterminée 0/0, alors que si la limite est differente de 0 on a l/l qui vaut 1 et l'inclusion est juste, il faut donc rajouter une condition qui est que l'inclusion est valable pour les fonctions de limites non nulles). En effet on se contre fou que a/b tende vers 0 ou pas je me suis égaré la. Par contre en rajoutant une condition, ca marche ...

Bonne année au fait.

*Edit, merci YOs et bonne année