Equivalent avec n! ...

[yos]

un cas ou a-b tend vers 0 mais b/a ne tend pas vers 1
Bonne année à toi aussi.

[BQss]

un cas ou a-b tend vers 0 mais b/a ne tend pas vers 1
Bonne année à toi aussi.

Oui oui pardon lol j'ai rajouté un truc d'ailleurs.

[BQss]

Si on rajoute que a la fois a/b et b/a doivent tendre vers 1 ca marche l'inclusion.

[BQss]

Lol non je peux pas dire ca non plus:
"Si on rajoute que a la fois a/b et b/a doivent tendre vers 1 ca marche l'inclusion."

tu as bien trouvé un cas particulier ou a-b tendait vers 0 et ou le rapport ne tendait pas vers 1. :marteau:

Mais cela reste valable pour tout point different de 0.

[BQss]

Nouvelle version:
L'ensemble des fonctions dont la difference tend vers 0 et ne tendant pas elles meme vers 0 (en x0 appartient a R U {infini}) est un sous ensemble des fonctions equivalentes en ce point et de limite differente de 0.


On est d'accord ?


PS: Tu as en fait trouvé la seul famille de cas ou il n'y a pas l'inclusion, c'est le cas des fonctions de limite nulle.
C'est le cas ou f et g tendent vers 0.


exemple (x-a)^2 n'est pas equivalente a x-a en a mais (x-a)^2 - (x-a) tend vers 0.

Par contre si l'on rajoute le fait que f(x) ne tend pas vers 0 on a .
f(x)-g(x) -->0 implique que lim f(x)=lim g(x) =l (l different de 0) et donc que :
lim f(x)/g(x))= l/l =1(si l est une limite fini):
donc dans le cas de l different de 0:
f-g tend vers 0 --> f equivalente a g .
Le cas ou la limite commune vaut + ou -infini est a traiter a part mais l'inclusion reste juste: supposons lim f(x)=+infini et lim (f(x)-g(x))= lim ( f(x) * ( 1 - g(x)/f(x) ) ) = 0. Supposons que lim g(x)/f(x) n'est pas 1. comme lim f(x) = +infini, on a lim ( f(x) * ( 1 - g(x)/f(x) )= +-l'infini si g(x)/f(x) a une limite fini differente de 1, lim ( f(x) * ( 1 - g(x)/f(x) )= +-l'infini si g/f tend vers + ou -infini. Dans le cas ou g(x)/f(x) n'a pas de limite, 1 - g(x)/f(x) n'a pas de limite et donc ne tend pas vers 0 et ( f(x) * ( 1 - g(x)/f(x) ) ) ne tend donc pas vers 0 car f(x) tend vers + infini .
Donc:
Contradiction car lim (f(x)-g(x))= lim ( f(x) * ( 1 - g(x)/f(x) ) ) = 0 par hypothese. Donc g(x)/f(x) ne peut que tendre vers 1.


PS: Quidam, oui tu as donc raison, c'est abusif de parler de cas particulier car pour le cas ou la limite commune est 0 les fonctions ne sont pas forcement equivalentes parce que la difference tend vers 0. Par contre tu n'as alors pas le droit de dire que f-g tend vers 0 est une hypothese plus forte que f/g tend vers 1 car il y a des cas ou f-g tend vers 0 sans que le rapport tende vers 1(c'est precisement le cas ou la limite de f et g vaut 0. Dans le cas ou la limite vaut 0 il n'y a pas inclusion et on ne peut pas conclure, il faut savoir de quelle fonction il s'agit.). Si tu pars du principe qu'une hypothese est plus forte, alors tu sous entend une inclusion et donc qu'il s'agit d'un cas particulier del'ensemble qui contient l'autre. On a le droit de dire ca, sauf que ici en l'occurence cette hypothese n'est pas plus forte, sauf si on exclu le cas des fonctions de limite nulle et a nouveau on peut parler de cas particulier.

[Quidam]

Oh là là ! J'admire votre capacité à raisonner ainsi un soir de réveillon ! J'ai bien jeté un coup d'oeil vers les 3 heures du mat, mais le vin et le champagne m'ont empêché de poursuivre quelque raisonnement que ce soit...et ce matin (enfin, ce midi plutôt), c'est la gueule de bois, alors je ne suis toujours pas opérationnel... Va falloir digérer vos commentaires un peu plus tard.

Bonne année à tous en tous cas : dilzydils, yos, Mohamed, tize, sandrine_guillerme, BQss, et tous les autres... !

[BQss]

Oh là là ! J'admire votre capacité à raisonner ainsi un soir de réveillon !

Je crois que c'est plus de l'autisme qu'autre chose lol, parfois c'est plus dure de ne pas faire le truc, que de vouloir le faire, aussi fastidieux que ce soit :marteau:

Bonne année a toi.

[Quidam]

Pourquoi abusif ? C'est quoi alors un cas particulier ?
En fait je ne comprends pas bien où tu veux en venir...c'est sur ma manière de dire les choses (les mots n'étaient peut être pas adéquats) ? ou mon "calcul" est faux ?

Rien n'est faux !
J'ai trouvé simplement que considérer le cas où (a-b) tend vers 0 comme un cas particulier du cas où a est équivalent à b était particulièrement...bizarre !
Ca me fait penser à un dialogue comme le suivant :
A : > "Un triangle qui n'est pas équilatéral est tel que le carré de la longueur d'un coté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés"
B : > "Ah non ! Pour un triangle, ne pas être équilatéral ne suffit pas pour garantir cette propriété !
A : > "Oui, mais il y a un cas particulier où ça marche ! Si le triangle est un triangle rectangle, alors ça marche !"
En toute rigueur, on peut bien sûr considérer qu'"être un triangle rectangle" est un cas particulier de "ne pas être équilatéral" ! Mais c'est quand même plutôt bizarre.

Quand tu dis que A équivalent à B et (A-B) tend vers 0 est un cas particulier de A équivalent à B, je ne peux que l'admettre ! Mais dans la mesure où (pour des quantités tendant vers l'infini, bien sûr - je reconnais ne l'avoir pas précisé, mais je m'étais placé dans ce cas implicitement) "(A-B) tend vers 0" implique que "A équivalent à B" il est surprenant de dire "Si A est équivalent à B et si A-B tend vers 0 alors e^a est équivalent à e^b" car la condition A-B tend vers 0 suffit !

[Quidam]

Je m'abstiendrai de répondre à toutes les questions soulevées ici. Je vous remercie de vos interventions.

Je précise simplement que, bien que je n'aie pas jugé utile de préciser que je me plaçais dans le cas de limites infinies pour A et B - et c'était un grand tort de ma part - c'était cependant pour moi tout-à-fait implicite, compte tenu de la question origine du problème : le comportement de n! au voisinage de l'infini..

Pour moi, il va de soi, par exemple, que si A et B tendent vers des limites finies non nulles, et que A est équivalent à B, alors, cela signifie qu'ils tendent tous deux vers la même limite l, et par conséquent ln(A) tend vers ln(l) tout comme ln(B) et si l n'est pas égal à 1, que tend vers 1, ce qui rend ln(A) et ln(B) équivalents, ceci étant tout simplement conséquence de la continuité de la fonction logarithme. De la même manière, si A est équivalent à B et que A et B tendent tous deux vers la limite l, alors tend vers tout autant que et par conséquent tend vers 1, ce qui rend ces deux quantités équivalentes, ceci étant tout simplement conséquence de la continuité de la fonction exponentielle.

La question se pose encore différemment si la limite finie commune des deux quantités A et B est nulle. Mais, comme je l'ai dit ci-dessus, je parlais uniquement du cas de deux limites infinie.

PS: Quidam, oui tu as donc raison, c'est abusif de parler de cas particulier car pour le cas ou la limite commune est 0 les fonctions ne sont pas forcement equivalentes parce que la difference tend vers 0.

Tu m'accordes que c'est effectivement abusif de parler de cas particulier dans le cas où la limite commune est 0 ; dommage ! Je n'ai même pas droit à cette concession, car je me plaçais uniquement dans le cas de limites infinies ! :we:

Tout cela n'est pas grave ! Je pense que nous savons l'un et l'autre de quoi nous parlons, et que nous sommes d'accord... :zen:

Je résumerai ma position comme suit :

Si , et , alors on peut conclure que , mais on ne peut pas conclure que , le contre-exemple le plus simple étant quand alors que n'est pas équivalent à !

[BQss]

Je résumerai ma position comme suit :

Si , et , alors on peut conclure que , mais on ne peut pas conclure que , le contre-exemple le plus simple étant quand alors que n'est pas équivalent à !

On est d'accord, on constate que ln(2x)-ln(x)=ln(2) ne tend pas vers 0 et que donc la condition necessaire et suffisante quand A et B tendent vers +infini n'est pas verifiée(elles sont equivalentes en +inf, de limite non nulle, mais n'appartiennent pas au sous ensemble des fonctions de limite non nulle et dont la difference tend vers 0 en +inf ), e^A/e^B=e^(A-B) ne tend donc pas vers 1(car A-B ne tend pas vers 0), mais vers e^(ln2))=2.